Многоугольник

cover
3713
Сколько должно быть углов у фигуры, чтобы мы могли смело назвать ее многоугольником? Много — это сколько? Давай рассмотрим этот вопрос подробнее и познакомимся с полезными формулами.
16 февраля 2024 г.
Содержание статьи

Что такое многоугольник

Говоря простым языком, это фигура, у которой много углов. Однако к такому «определению» возникает много вопросов. Что за фигура? И сколько углов у нее должно быть? И как ее построить? И вообще откуда такая неточность в математике?


В науке многоугольником называют замкнутую ломаную линию, которая ограничивает часть плоскости. Эта линия соединяет несколько точек плоскости, не лежащих на одной прямой.


То есть, по сути, такое название можно дать практически любому из знакомых нам планиметрических объектов: треугольнику, квадрату, прямоугольнику, ромбу, пятиугольнику и так далее. Однако порой встречаются и вариации фигуры, сконструированные более сложно.


Название многоугольника, как правило, определяется количеством углов. Эта схема знакома каждому школьнику: если угла три, то перед нами треугольник, если четыре — четырехугольник, если пять — пятиугольник, а если n — n-угольник.


Однако построить фигуру с гордым именем «многоугольник» не так-то просто. Чтобы получить замкнутую линию, которую мы сможем так назвать, нужно соблюдать несколько правил.


  1. Соединять точки последовательно. Помнишь, как в детской книжке, где нужно было соединить точки, шаг за шагом двигаясь от первой цифры к последней, чтобы получился рисунок в форме кота или лошади? Здесь точно так же.
  2. Стороны, имеющие общую вершину, не должны лежать на одной прямой.
  3. Несмежные стороны (те, у которых нет общей вершины) не должны пересекаться.


Если хотя бы один из этих принципов нарушится, мы не сможем назвать получившуюся фигуру многоугольником — даже если на первый взгляд она по-прежнему будет соответствовать геометрическому определению.


Как и у любого геометрического объекта, у нашего соединенного по точкам котика есть важные элементы — его неотъемлемые составляющие.


  1. Вершины — это точки, в которых соединяются смежные стороны, то есть вершины замкнутой ломаной кривой.
  2. Стороны, или звенья, — это отрезки, соединяющие вершины получившегося треугольника, квадрата, ромба или чего угодно еще.
  3. Внутренние углы — это углы, образованные вершиной и двумя смежными сторонами.
  4. Диагонали — это отрезки, соединяющие вершины, не лежащие на одной стороне.

Виды многоугольников и их свойства

Несмотря на то, что многоугольников в природе ой, то есть в геометрии! много, мы все же можем разделить их на группы и каким-то образом классифицировать.


Например, все фигуры такого типа можно разделить на выпуклые и — так и хочется сказать «впуклые», правда? — невыпуклые. Первые лежат по одну сторону от прямой, проходящей через любую из их сторон, а вторые эта прямая пересекает.

Выпуклый многоугольник обладает двумя важными свойствами, которые помогут тебе в решении задач:


  1. сумма его внутренних углов равна 180𝇈(n-2), где n — количество углов;
  2. сумма его внешних углов всегда равна 360 градусам.


Еще многоугольники бывают правильные и неправильные. Первые соблюдают прописанные правила и живут по законам общества, а вторые больше известны как злобные нарушители. Ладно, шутим, конечно. Правильным многоугольником называется тот, у которого все стороны и углы равны — например, равносторонний треугольник и квадрат подходят под эту характеристику. А вот фигуры с разной длиной сторон и величиной углов звания «правильных» не получат.


У правильного многоугольника тоже есть несколько полезных свойств:


  1. каждый его угол равен (180𝇈(n-2))/n, где n — количество углов;
  2. его центр равноудален от вершин и равноудален от сторон;
  3. в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность;
  4. центры вписанной и описанной окружностей будут совпадать с центром фигуры.


Ну и, третий вариант — совсем не обязательный, однако тоже встречающийся — это вписанные и описанные многоугольники. Под первую характеристику попадают фигуры, все вершины которых лежат на окружности, а под вторую — те, все стороны которых касаются окружности.

Формулы для многоугольника

Формулы для многоугольников будут разниться от треугольника к квадрату и от ромба к пятиугольнику — многое будет меняться в зависимости от формы, вида фигуры, количества сторон и углов. Но мы все же собрали несколько полезных формул.


Площади оснований:

Прямоугольный треугольник S = ½ ab

Треугольник S = ½ ah

Квадрат S = a2

Прямоугольник S = ab

Параллелограмм S = ah

Ромб S = ½ d1d2

Трапеция S = ½ (a+b)h

Вот мы и разобрались с многоугольными фигурами! Не забывай, что они бывают очень разными и к ним всегда нужен индивидуальный подход — внимательно рассмотри многоугольник при встрече с ним и определи, какими формулами ты можешь воспользоваться. Если фигура составная, попробуй разделить ее на несколько более понятных и правильных частей.


А теперь, по традиции, пришло время проверки знаний!

Проверь себя

Какого вида многоугольников не существует?

— Правильные.

— Невыпуклые.

— Впуклые.


Что из перечисленного можно назвать правильным многоугольником?

— Равнобедренный треугольник.

— Квадрат.

— Ромб.


Как понять, выпуклый ли многоугольник?

— Провести прямые через его стороны.

— Провести диагонали внутри фигуры.

— Измерить углы фигуры.

Admin1