Равномерное прямолинейное движение
Тут ты найдешь ответы на эти и не только вопросы
- что такого особенного в этом движении;
- что показывает его скорость;
- как построить график перемещения;
- как посчитать перемещение, если есть только график скорости;
- как решать задачи с графиками и без.
Определение равномерного прямолинейного движения
Прямолинейное равномерное движение — это частный случай механического движения, когда перемещение тела происходит на одинаковые промежутки за любые равные интервалы времени, и траекторией всегда будет являться прямая линия.
«Частный случай» — в смысле «надо смотреть конкретную ситуацию».
«Механическое движение» — в смысле… Кстати,
надо бы вспомнить, что имеем в виду под этим термином.
Механическое движение — это изменение положения тела или частей тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Перейдем к следующим странным словам про перемещение и время. Смотри на примере.
Решил человек пройтись. Он физру не прогуливал и может идти далеко и долго, при этом всегда с одинаковой скоростью. Условия мы поставили суровые, ни передышки, ни паузы, чтобы шнурок поправить, идеальная картинка.
Путь нашего пешехода лежит к реке, прямо вперед на несколько километров. Для проверки его скорости мы будем засекать рандомно по минуте его ходьбы и сравнивать, сколько он прошагал. Если результаты совпадут — скорость постоянная, а движение равномерное.
Скажем, его скорость 6 км/ч — средняя скорость ходьбы взрослого. Равномерно за минуту от опушки до леса он пройдет 100 метров (можешь сам проверить). Столько же будет за другую минуту, когда он будет выходить из леса к реке. Не будет разницы какие минуты и секунды сравнивать — результат всегда один и тот же. Вот суть равномерности.
Время обсудили, теперь что там с прямолинейностью. Сначала нужно вспомнить о траектории:
Траекторией называется линия, по которой тело двигалось.
Смотри, если ты идешь по снегу, за тобой остаются следы. По этим следам можно проследить траекторию твоего движения.
Если траектория (линия следа) кривая — движение криволинейное.
Если прямая — прямолинейное.
Да, в прямолинейном движении танцев с бубнами нет, и траектория всегда будет выглядеть прямой линией.
Линия — это просто рисунок в тетрадке. Нам бы посчитать, сколько это будет в метрах или хотя бы сантиметрах.
Если нам важно, какое расстояние прошло тело, то тогда говорим о пути.
Если главное, насколько тело переместилось относительно начальной точки, то (неожиданно) имеем в виду перемещение.
Окей, на этом вроде бы все. А теперь главный вопрос — часто мы такое идеальное соблюдение правил видим в жизни?
В жизни постоянно двигаться равномерно, а тем более все время прямо, невозможно. Мы можем только решать задачи, представлять такие ситуации и идти от них к более сложным.
Физики договорились, что на отдельных участках пути тела все таки могут двигаться равномерно, но это тоже небольшая уловка. Не потеряй ее из вида.
Ладно, сохраним пока вайб идеального мира и пойдем дальше.
Скорость
Скорость для прямолинейного равномерного движения — постоянная векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка.
Для нас из этого важно вытащить, что раз скорость — это вектор, то значит имеет направление, и с этим придется считаться. А если записать символами вторую часть определения получится формула:
Подсказка: из формулы также будет следовать, что вектора v и s всегда направлены в одну сторону.
Еще раз повторим, что движение равномерное, а значит у вектора скорости не будет меняться НИЧЕГО. Ни направление, ни величина.
Если зачем-то тебе потребуется нарисовать график скорости от времени, то кроме базы из карандаша и линейки ничего не потребуется.
Смотри, раз скорость постоянна, то с течением времени она всегда будет одинакова. Графически это будет выглядеть вот так:
По вертикали выбираешь значение, с каким движется тело и просто проводишь горизонтальную линию. Успеешь решить задачу раньше всех и добежать до столовки.
Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения
Основная задача механики — в любой момент времени определить положение тела в пространстве.
Как нам быть и что делать? Сначала надо понять, как можно узнать положение тела (координату или перемещение) за время, которое придет нам в голову.
Для этого перестроим формулу скорости вот так:
Благодаря тому, что мы выяснили связь направлений векторов скорости и перемещения, мы можем перейти к проекциям, когда направления можно не учитывать. Тогда формула получится такой:
Открою страшный секрет, перемещение — это разность между конечным и начальным значением. Тогда записать решение задачи механики мы можем вот так:
График равномерного прямолинейного движения
Физикам мало написать формулу из букв без цифр, им это еще и нарисовать надо. Давай подумаем, как это будет выглядеть для нашего движения.
Если немного подушнить и вспомнить алгебру, была у нас там такая формула для линейной функции, простыми словами — прямой линии:
y=kx+b
х тут — аргумент, k — постоянный коэффициент, b —свободный член.
А теперь лайфхак. Если нам нужен график равномерного прямолинейного движения, то он тоже будет прямой. Прямой — прямолинейное, понимаешь связь?
Для построения достаточно знать координаты двух точек: точки начального положения и точки любого следующего:
Так будет выглядеть перемещение тела с равномерной скоростью 2 м/с за 4 секунды, а еще с учетом начального положения в 4 м.
Алгебраически, то есть формулой, это заклинание запишется так: x=4+2t
Лайфхак: если есть график скорости от времени и надо найти перемещение, его можно вычислить как площадь фигуры под графиком скорости.
Важно! Нас интересует площадь фигуры, которая получается между горизонтальной осью координат и линией графика!
Еще одна особенность: вектор скорости может быть направлен противоположно координатной оси х, тогда проекция скорости будет отрицательной, и модуль перемещения тоже будет меньше нуля, как для синего прямоугольника на рисунке.
Пока ты пытаешься уложить отрицательную скорость в голове, поясним, откуда она может появиться.
Дело тут снова в векторах и их направлениях. Когда нам надо от них избавится (от направлений, вектора пока нужны), мы их проецируем — переводим в обычные отрезки на какую-нибудь ось координат. Эта ось практически берется с потолка, мы сами решаем, как ее провести.
Смотри, вот есть ты, а есть одноклассник Саня. Тебе от школы домой налево, а ему направо. Ось координат будет вдоль вашей улицы, но сразу в обе стороны ее направить нельзя. Раз статью читаешь ты, а не Саня, пусть направление оси совпадет с направлением твоего вектора скорости.
А как же Саня? Его скорость будет направлена в другую сторону. И если мы захотим сделать проекцию на ту ось, которая уже есть, скорость получится отрицательной. Саня от этого не станет двигаться как-то иначе, проходить через текстуры. Такой прикол получился только из-за математических действий с векторами.
Хочешь усложнить себе жизнь, рисуй как угодно. Хочешь быстрее закончить с физикой и залипнуть на ютуб, поступай умнее. Оси рисуют параллельно векторам и стараются выбрать одинаковое с ними направление. Но это получается не всегда.
Встреча
Один важный момент, который может попасться в задачах (на ЕГЭ тоже) — это вопрос о встрече двух тел.
Встречей при графическом изображении движения будет считаться точка пересечения двух линий.
Другими словами такое значение х, которое подходит обоим телам, и они окажутся в этой точке одновременно
На рисунке I — айсберг, II — «Титаник». Спидран по фильму заказывали? В определенной точке тела встретятся, график подтверждает. Сейчас это точка — x=200 м, t=20 с. После этого наши объекты могут двигаться или нет, или не очень долго. Спойлер: «Титаник» какое-то время пытался, но не смог.
Примеры задач
Очень часто по этой теме будут появляться задачи с графиками. С одной такой и начнем:
Задача 1.
Опишите движения тел, которые показаны на графике. Запишите для каждого уравнение зависимости x(t).
x
t
Решение:
Начнем с самого простого, пойдем как всегда к более сложному.
- Посмотрим на красный график. Он не меняется, как скорость, которую мы уже обсуждали. Это значит, что его координата не меняется, или проще говоря, тело просто лежит. Прямо как ты хочешь лечь после уроков, и чтобы никто не трогал.
Запишем его уравнение. По графику видно, что все время это будет 5 метров. Так и запишем:
x=5
Все!
- Теперь посмотрим на фиолетовую линию. Здесь уже нельзя просто записать число, нужно вспомнить о виде уравнения:
. На графике у нас получится линия — это доказывает, что перед нами изображение равномерного прямолинейного движения.
Прямая идет из точки x=4 t=0 и проходит точку x=0, t=4. Так давай подставим их в уравнение:
4=x0+vx*0
0=x0+vx*4
Из первого уравнения получим, что:
4=x0+0 ⇒ x0=4
Подставим это во второе уравнение:
4*vx + 4 = 0
4*vx=-4
vx=-1
Если собрать все вместе, то для фиолетовой прямой будет уравнение: x=4-t
- Последняя, синяя прямая также подходит под наше общее уравнение
Делаем также, как в пункте выше, подставляем:
1=x0+vx*0
3=x0+vx*1
Из первого уравнения получим, что:
1=x0+0 ⇒ x0=1
Подставим это во второе уравнение:
vx + 1 = 3
vx=3-1
vx=2
Снова все собираем, и для синей линии получится x=1+2t
Ответ:
- красная линия — движения нет, тело стоит на месте, уравнение x=5;
- фиолетовая линия — движение равномерное прямолинейное, уравнение x=4-t;
- синяя линия — движение равномерное прямолинейное, уравнение x=1+2t.
Задача 2.
Вера договорилась с Сашей встретиться и обсудить сериал. Движение Веры можно описать уравнением x=6+3t, а движение Саши: x=12+4t. Получится ли у девочек встретиться, и через сколько они начнут обсуждать финал сезона?
Решение:
Такую задачу можно решать двумя способами. Начнем с графического.
- У нас есть уравнения для движения обеих девочек. Надо построить теперь графики. Выглядеть они будут прямыми.
- Возьмем уравнение для Веры: x=3+6t. При t=0 x=3, получилась точка на вертикальной прямой. Через одну секунду t=1, x=9. Вот вторая точка. Теперь соединяем их в линию.
- Точно также поступаем с Сашей: x=12+4t. t=0, x=12. Если t=1, x=16.
- Теперь смотрим, есть ли у графиков пересечение. Оно будет в точке t=4.5, x=30.
Делаем вывод, что девочки встретятся и даже начнут болтать через 4,5 секунды.
х
t
Другой подход называется аналитическим.
- Раз должна быть встреча значит координата x будет одинаковой для Веры и Саши. Тогда уравнения тоже можно приравнять друг к другу:
- 3+6t=12+4t
Перенесем t в одну часть, а числа в другую:
6t-4t=12-3
2t=9
t=4.5
- Окей, время нашли. Теперь чтобы найти положение обеих подружек в пространстве достаточно это время подставить в любое из уравнений. Давай подставим в уравнение Саши:
x=12+4*4.5
x=12+18
x= 30
- Аналитически получился тот же результат, значит задача решена правильно.
Ответ: встреча будет, через 4.5 секунды
Еще раз повторим, о чем сегодня говорили:
- равномерное движение — частный случай, в жизни можно встретить только на отдельных участках пути или времени;
- скорость при таком движении постоянна по величине и направлению вектора;
- график скорости — горизонтальная прямая над или под осью времени, в зависимости от проекции;
- перемещение прямолинейного равномерного движения всегда будет по прямой, график будет выглядеть также
- уравнение для графика содержит начальное положение тела, скорость и время, за которое тело проходит путь: x=x0+vx*t;
- встреча — это пересечение графиков или совпадение их координат;
- задачи на такое движение можно решать аналитически формулами или графически.
Проверь себя
Что является характеристикой равномерного прямолинейного движения?
а) постоянно встречается в жизни;
б) скорость постоянна;
в) график для перемещения — синусоида.
Если ученик шел из дома в школу 1 км, а потом его отправили больного обратно домой, какими были путь и перемещение ученика?
а) путь 2 км, перемещение 0 км;
б) путь 0 км, перемещение 2 км;
в) путь 2 км, перемещение 2 км.
В идеальном мире два друга, Макс и Данил, каждое утро равномерно и прямолинейно ходят в школу. Уравнение Макса выглядит как x=10+5t, уравнение для Данила как x=7+3t. Кто идет в школу медленнее? Выбери правильный вариант:
а) Макс
б) Данил
в) оба идут с одинаковой скоростью.