Вписанная и описанная окружность
Вписанная в неразвернутый угол окружность
Окружность называется вписанной в неразвернутый угол, если она касается сторон этого угла
на рисунке окружности с центром в точках 
являются вписанными в угол, так как они касаются сторон угла 
, а окружность с центром в точке 
не является вписанной, потому что она касается только одной стороны угла
Вписанная в треугольник окружность
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника. Треугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности
на рисунке окружность с центром в точке вписана в треугольник 
так как она касается каждой стороны треугольника
Теорема о вписанной в треугольник окружности
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Дано:
Доказать: в 
можно вписать окружность
Доказательство: 1) проведем биссектрисы 
2) точка является точкой пересечения биссектрис 
3) окружность с центром в точке и радиусом 
проходит через точки 
и касается сторон треугольника в этих точках 
окружность с центром в точке вписана в треугольник
Таким образом в треугольник всегда можно вписать окружность т.к. точка пересечения биссектрис существует в любом треугольнике
Ч.т.д.
Единственность вписанной в треугольник окружности
Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех сторон, то можно вписать только одну окружность
Описанная около треугольника окружность
Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности. Треугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.
По рисунку видно, что каждая вершина вписанного в окружность треугольника лежит на этой окружности
Теорема об описанной около треугольника окружности
Теорема. Около любого многоугольника можно описать окружность
Дано:
Доказать: около можно описать окружность
Доказательство: 
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника 
существует окружность с центром в точке и радиусом 
, которая будет проходить через вершины треугольника
Таким образом около треугольника всегда можно описать окружность т.к. точка пересечения серединных перпендикуляров существует в любом треугольнике
Ч.т.д.
Единственность описанной около треугольника окружности
Сколько окружностей можно описать около треугольника?
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, то треугольник можно описать только одной окружностью
