Пары чисел (1/2; -7/4), (-2/3; -7/2), (-1; -4), (3; 2) являются решениями линейного уравнения

3x - 2y = 5 с двумя переменными. В первых двух парах значения x и y не являются

целыми числами, а в двух последних парах x и y - целые числа. Решения, в которых

значения x и y являются целыми числами называются целочисленными решениями. Если

требуется найти все целочисленные решения, то нужно решить уравнение в целых

числах

Рассмотрим уравнение 5x + 4y = 1/2. Оно не имеет целочисленных решений, так как при

целых значениях x и y значение левой части есть целое число, тогда как значение правой

части – число дробное.

Данное уравнение имеет вид ax + by = c, где a и b - взаимно простые числа. По виду

уравнения можно узнать о наличии в нем целочисленных решений: если свободный член

уравнения – дробное число, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Уравнение -5x - y = 2 имеет бесконечно много целочисленных решений. Оно имеет вид ax

+ by = c, в котором a или b равно 1 или -1, а свободный член уравнения – целое число.

Задача. В коробке лежат упаковки синих и красных карандашей (только синих или только

красных быть не может). Известно, что в одной упаковке 4 синих карандаша или 2

красных. Сколько, может быть, упаковок синих и красных карандашей, если всего 32

карандаша? Найти все решения.

Решение. Составим уравнение для решения задачи: пусть x-количество упаковок с

синими карандашами, а y - упаковки с красными карандашами, тогда полученное

уравнение имеет вид 4x + 2y = 32 или 2x + y = 16

Если x = 1, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 1 = 14

Если x = 2, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 2 = 12

Если x = 3, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 3 = 10

Если x = 4, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 4 = 8

Если x = 5, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 5 = 6

Если x = 6, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 6 = 4

Если x = 7, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 7 = 2

Если x = 8, то y = 16 - 2x = 16 - 2 * 8 = 0 - не подходит так как в коробке лежат синие и

красные карандаши.

Ответ: (1; 14), (2; 12), (3; 10), (4; 8), (5; 6), (6; 4), (7; 2)

Пример из учебника Макарычева 7 класс

Возьмем уравнение 20x + 3y = 10 Его коэффициенты при переменных – взаимно простые

числа и свободный член – целое число. Так как коэффициент при x больше

коэффициента при y, то представим коэффициент при x в виде суммы двух натуральных

слагаемых, так чтобы одно из слагаемых было наибольшим числом, которое кратно

коэффициенту при y: (18 + 2)x + 3y = 10

Раскроем скобки и сгруппируем первое и третье слагаемое: 3(6x + y) + 2x = 10

Заменим выражение, полученное в скобках буквой k: 3k + 2x = 10

Проведем аналогичные преобразования с полученным уравнением: (2 + 1)k +

2x = 10 ⇒ 2(k + x) + k = 10, затем заменим выражение в скобках на букву n: 2n

+ k = 10

Решая уравнение относительно k получаем k = 10 - 2n.

Подставляя данное выражение в замену k + x = n. Мы получаем уравнение 10 - 2n + x = n.

Решая данное уравнение относительно x мы получим одну из формул решений

первоначального уравнения: x = 3n - 10

Для того чтобы получить вторую формулу подставим полученные ранее выражения для k

и x в замену 6x + y = k: 6(3n - 10) + y = 10 - 2n.

Решим полученное уравнение относительно y: y = 70 - 20n.

Формулы x = 3n - 10 и y = 70 - 20n при целых значениях n дают целочисленные решения

для уравнения 20x + 3y = 10