Давай начнем с определений, разберемся, что собой представляют эти страшные системы, и с какими тайнами нам придется столкнуться. А потом посмотрим, как это вообще решать. 

Помнишь, что такое уравнение? Это мы еще в началке проходили и уже тогда начали понимать, что появление странных букв среди чисел — не к добру! Но оставим ностальгию и обратимся к нашей долгосрочной памяти.

Уравнение — это математическое утверждение, выражающее равенство двух частей при определенных значениях переменных в его составе. 

То есть это такой способ найти значения неизвестного числа, которые сделают математической равенство верным.

Но в математике, как в сказке, чем дальше, тем страшнее. И вот к 7 классу мы добрались до систем. 

Система уравнений — это набор уравнений, связанных между собой. В случае с двумя переменными, мы имеем дело с двумя выражениями, каждое из которых содержит два неизвестных. 

Система уравнений с двумя переменными

a₁x + b₁y +c₁ = 0

а₂x - b₂y + c₂ = 0

Пример:

1. 2x + 3y +8 = 0

2. 4x - y + 6 = 0

То есть находить нам нужно те значения х и у, при которых оба равенства окажутся верными. А как это сделать, будем разбираться.

Начнем с простого. Один из способов решения — это метод подстановки. 

Его суть в том, что мы упрощаем нашу систему с двумя неизвестными до выражения с одним.

Разберем на примере:

1. 2x + y - 10 = 0;

2. 2x - y - 6 = 0.

Сначала выразим одну из переменных из одного уравнения и подставим ее в другое. Из (2) мы можем выразить y = 2x - 6, а затем подставить это значение в (1):

2x + 1 * (2x - 6) - 10 = 0;

Теперь у нас есть уравнение с одним неизвестным х, которое можно решить на лайте. А у мы найдем, подставляя уже известное значение в любое из выражений.

4х - 16 = 0;

х = 4.

2 * 4 + у = 10;

у = 2;

Ответ (4; 2).

Другим методом решения является метод сложения. Его суть в том, что мы складываем или вычитаем два уравнения так, чтобы одно из неизвестных ушло.

Снова посмотрим на простом примере:

1. 2x + y = 8

2. 4x - y = 10

Сложим их:

(2x + y) + (4x - y) = 8 + 10

6х = 18

Теперь у нас есть одно выражение с одним х. Решаем его и снова подставляем полученное значение, чтобы найти у.

х = 3

2 * 3 + у = 8

у = 2

Ответ: (3; 2).

Системы с тремя переменными более сложны, но методы решения остаются похожими. В наборе из трех уравнений каждое содержит три неизвестных. 

Система линейных уравнений с тремя переменными

1. а₁x + b₁y + c₁z - d₁6 = 0

2. a₂x - b₂ + c₂z - d₂ = 0

3. a₃x + b₃y - c₃z- d₃ = 0

1. Решим задачу методом сложения:

1. 2x + 3y = 13

2. 4x - 2y = 2

Как мы видим, просто сложением избавиться от неизвестного мы не сможем, так как им имеем разные коэффициенты. Посмотрим, какие шаги нам нужно сделать, чтобы все же решить эту задачку.

Шаг 1: Умножаем оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты, например при х, совпадали по абсолютной величине. В данном случае, умножим первое выражение на 2, чтобы сделать коэффициент при x равным:

1. 4x + 6y = 26;

2. 4x - 2y = 2.

Шаг 2: Вычтем второе из первого. Это позволит нам избавиться от x.

(4x + 6y) - (4x - 2y) = 26 - 2.

Шаг 3: Производим вычисления:

4x + 6y - 4x + 2y = 24;

8y = 24;

8y / 8 = 24 / 8;

y = 3.

Теперь мы знаем значение y.

Шаг 4: Подставляем значение y в одно из исходных уравнений для того, чтобы найти x.

2x + 3 * 3 = 13;

2x + 9 = 13;

2x = 13 - 9;

2x = 4;

2x / 2 = 4 / 2;

x = 2.

Теперь у нас есть значения x и y.

Ответ: (2; 3).

1. Найдем 3 неизвестных методом подстановки:

1. 2x + 3y - z = 11;

2. x - 2y + 2z = 4;

3. 3x - y + 2z = 12.

Шаг 1: Возьмем первое уравнение (1) и решим его относительно z. Выразим z:

2x + 3y - z = 11;

-z = 11 - 2x - 3y;

z = -11 + 2x + 3y.

Шаг 2: Подставим полученное выражение в (2) и (3):

2. x - 2y + 2 * (-11 + 2x + 3y) = 4;

3. 3x - y + 2 *(-11 + 2x + 3y) = 12.

Произведем вычисления и приведем подобные члены:

x - 2y - 22 + 4x + 6y = 4;

3x - y - 22 + 4x + 6y = 12.

Мы получили новую систему с двумя неизвестными.

1. 5x + 4y = 26
2. 7x + 5y = 34

Шаг 3: Возьмем первое (1) и выразим х.

x = (26 - 4y) / 5

Шаг 4: Подставим полученное выражение в уравнения (2):

7 * ((26 - 4y) / 5) + 5y = 34

Произведем вычисления:

182 - 28y + 25y = 34 * 5

-3y = 170-182

y = 12 / 3

y = 4

Вуаля, мы нашли у! Подставляя в выражения х и z полученные значения, мы определим все неизвестные.

x = (26 - 4 * 4) / 5;

x = 2

z = -11 + 2 * 2 + 3 * 4;

z = 5.

Ответ: (2; 4; 5).

Что такое система уравнений?

– это набор связанных уравнений, при решении которых должны быть верными все равенства системы;

– бесконечный поиск неизвестных;

– это методы последовательного решения уравнений.

В чем заключается метод подстановки?

– пробуем подставлять все числа, пока не найдем нужные;

– выражаем одну переменную через другую и подставляем в уравнение, упрощая до одного неизвестного;

– складываем и вычитаем два уравнения, чтобы найти его корни.

Отличаются ли методы решения системы уравнений с тремя переменными о тех, что мы используем при решений систем с двумя?

– да, там совсем другие методы;

– нет, можно решить с помощью тех же методов;

– а мы это проходили?