Окружность. Касательная к окружности
Определение окружности
Вспомним что такое окружность
Окружность – это геометрическое место точек, расположенных на одном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности
Расстояние от центра окружности до каждой точки называется радиусом окружности
Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, лежащей на окружности
Хорда - отрезок, который соединяет любые две точки, лежащие на окружности
Диаметр – отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности, проходящий через центр окружности
Касательная к окружности
Касательная - прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку
Расстояние от центра окружности до точки касания равно радиусу окружности
Теорема о радиусе, проведенному к касательной
Ранее мы говорили, что существует теорема об угле между касательной и радиусом, проведенному в точку касания
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
на рисунке прямые касательные к окружности с центром в точке , радиусы, проведенные в точки касания
Доказательство теоремы
Дано: окружность с центром в точке и радиусом , касательная, точка касания
Доказать:
Доказательство: предположим, что наклонная, тогда больше, чем расстояние от центра окружности до прямой , тогда радиус окружности больше, чем расстояние от центра окружности до прямой. Как было сказано ранее, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет с окружностью две общие точки, а это противоречит условию, значит наше предположение было неверно, следовательно,
Ч.т.д.
Свойство касательных
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности
Дано: окружность с центром в точке , касательные
Доказать:
Доказательство:
1) так как касательные, то радиусы, проведенные в точки касания
2) рассмотрим : общая гипотенуза, катетыпо катету и гипотенузе
Ч.т.д.
Обратная теорема о радиусе и касательной
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной
Дано: окружность с центром в точке , прямая, ,
Доказать: касательная
Доказательство: где радиус прямая и окружность имеют только одну общую точку касательная
Ч.т.д.