Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Научиться решать тригонометрические уравнения — очень важная задача, ведь они часто встречаются в задачах ЕГЭ. Зная методы решения, ты сможешь справиться со всеми этими заданиями и получить заветные баллы. Так что давай разбираться, что здесь к чему.
Как ты понимаешь, все эти уравнения связаны с функциями тригонометрии: sin, cos, tg, ctg. Логично, что без них уравнение не будет считаться тригонометрическим.
Они бывают разной сложности, могут быть смешанными и иметь в составе еще и линейные функции. Но чтобы научиться решать сложные задачи, начинать нужно с простых.
Что же математики называют простейшими тригонометрическими уравнениями?
Тригонометрические уравнения — это такие выражения, в которых неизвестная строго закреплена в тригонометрической функции.
То есть некое выражение вида: sinx + 4 cosx = 0, может считаться таким, но оно все еще выглядит довольно сложным.
А простейшим тригонометрическим уравнением является то, в котором участвует одна тригонометрическая функция.
Вот такие выражения sin f(x) = a, cos f(x) = а, tg f(x) = a, ctg f(x) = a мы будем считать простейшими. Здесь а – это некая константа, а под f(x) мы подразумеваем функцию, которая зависит от х. Например: f(x) = х, f(x) = х - 3 и другие выражения.
Способы решения тригонометрических уравнений
Рассмотрим, какие есть методы решения тригонометрических уравнений. Сразу скажем, что каким бы сложным ни было выражение, мы всегда должны стараться привести его к виду простейшего.
Для того чтобы простейшие уравнения имели решения, должны выполняться условия:
- в случае sin f(x) = a и cos f(x) = а: а должно находиться в диапазоне от -1 до 1;
- в случае tg f(x) = a, ctg f(x) = a: а может быть любым числом.
Первый метод — это по сути графический способ, потому что для решения применяется тригонометрический круг. Отмечая на этом круге заданный параметр а, мы можем определить корни, учитывая углы поворота.
Второй — это метод замены, при котором используются стандартные тождества для преобразования выражения в более простую форму.
Посмотрим, какие основные выражения и свойства для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов мы можем использовать для решения.
Формулы двойных углов
Формулы двойных углов — это инструмент, который позволяют выразить наши функции от удвоенного значения угла через выражения для единичного угла.
Мы приведем в таблице основные формулы, которые могут пригодиться для решения задач.
Формулы сложения и вычитания углов
Формулы сложения и вычитания углов также пригодны для решения уравнений. Они позволяют свести выражения с суммой или разностью углов под функцией к более простым.
Эти формулы мы тоже собрали для тебя в таблице.
Формулы понижения степени
Формулы понижения степени позволяют выразить более высокие степенные функции через более низкие. Это упрощает выражения и позволяет находить решение тригонометрических уравнений.
Вот так мы можем от второй и третей степени перейти к выражениям первой степени, которые будет гораздо проще решить:
Сумма, разность и произведение синуса и косинуса
Сумма, разность и произведение синуса и косинуса — это также полезные формулы при решении. В таблицах мы представим варианты преобразований, которые уже выведены математиками и активно используются.
Проверь себя
Что такое тригонометрические уравнения?
– уравнения, в которых неизвестная находится строго под тригонометрической функцией;
– уравнения, в которых есть любые тригонометрические функции;
– нерешаемые уравнения.
Какое уравнение не считается простейшими тригонометрическими?
– tg x = 0;
– sin (x + 2) = -1;
– sin x + 2x2 = 0
Условие для решения простейших уравнений sin f(x) = a и cos f(x) = а.
– а > 0
– -1 ≤ a ≤ 1
– а – любое число.