Научиться решать тригонометрические уравнения — очень важная задача, ведь они часто встречаются в задачах ЕГЭ. Зная методы решения, ты сможешь справиться со всеми этими заданиями и получить заветные баллы. Так что давай разбираться, что здесь к чему.

Как ты понимаешь, все эти уравнения связаны с функциями тригонометрии: sin, cos, tg, ctg. Логично, что без них уравнение не будет считаться тригонометрическим. 

Они бывают разной сложности, могут быть смешанными и иметь в составе еще и линейные функции. Но чтобы научиться решать сложные задачи, начинать нужно с простых.

Что же математики называют простейшими тригонометрическими уравнениями? 

Тригонометрические уравнения — это такие выражения, в которых неизвестная строго закреплена в тригонометрической функции.

То есть некое выражение вида: sinx + 4 cosx = 0, может считаться таким, но оно все еще выглядит довольно сложным.

А простейшим тригонометрическим уравнением является то, в котором участвует одна тригонометрическая функция. 

Вот такие выражения sin f(x) = a, cos f(x) = а, tg f(x) = a, ctg f(x) = a мы будем считать простейшими. Здесь а – это некая константа, а под f(x) мы подразумеваем функцию, которая зависит от х. Например: f(x) = х, f(x) = х - 3 и другие выражения.

Рассмотрим, какие есть методы решения тригонометрических уравнений. Сразу скажем, что каким бы сложным ни было выражение, мы всегда должны стараться привести его к виду простейшего. 

Для того чтобы простейшие уравнения имели решения, должны выполняться условия:

1. в случае sin f(x) = a и cos f(x) = а: а должно находиться в диапазоне от -1 до 1;
2. в случае tg f(x) = a, ctg f(x) = a: а может быть любым числом.

Первый метод — это по сути графический способ, потому что для решения применяется тригонометрический круг. Отмечая на этом круге заданный параметр а, мы можем определить корни, учитывая углы поворота.

Второй — это метод замены, при котором используются стандартные тождества для преобразования выражения в более простую форму. 

Посмотрим, какие основные выражения и свойства для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов мы можем использовать для решения.

Формулы двойных углов — это инструмент, который позволяют выразить наши функции от удвоенного значения угла через выражения для единичного угла.

Мы приведем в таблице основные формулы, которые могут пригодиться для решения задач.

Формулы сложения и вычитания углов также пригодны для решения уравнений. Они позволяют свести выражения с суммой или разностью углов под функцией к более простым.

Эти формулы мы тоже собрали для тебя в таблице.

Формулы понижения степени позволяют выразить более высокие степенные функции через более низкие. Это упрощает выражения и позволяет находить решение тригонометрических уравнений. 

Вот так мы можем от второй и третей степени перейти к выражениям первой степени, которые будет гораздо проще решить:

Сумма, разность и произведение синуса и косинуса — это также полезные формулы при решении. В таблицах мы представим варианты преобразований, которые уже выведены математиками и активно используются.

Что такое тригонометрические уравнения?

– уравнения, в которых неизвестная находится строго под тригонометрической функцией;

– уравнения, в которых есть любые тригонометрические функции;

– нерешаемые уравнения.

Какое уравнение не считается простейшими тригонометрическими?

– tg x = 0;

– sin (x + 2) = -1;

– sin x + 2x2 = 0

Условие для решения простейших уравнений sin f(x) = a и cos f(x) = а.

– а > 0

– -1 ≤ a ≤ 1

– а – любое число.