Осмотрись вокруг. Может быть, ты видишь стакан, консервную банку, трубу, бочку или торт? Тогда тебе повезло! Ты нашел его — объект нашего изучения — цилиндр.

Вот такой полезный в хозяйстве предмет. Но кто бы мог подумать, что он также является фигурой геометрии с многочисленными свойствами? Вперед, к исследованию цилиндра!

Мы уже поняли, что цилиндры встречаются повсюду, скрываясь в форме привычных нам бытовых объектов. Теперь посмотрим, что об этих любителях играть в прятки говорят математики.

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

То есть это фигура, которая имеет два круглых основания. Они связаны боковой поверхностью, которая выглядит как стенка или оболочка цилиндра. Обо всех элементах этой фигуры мы подробнее поговорим.

Конечно, цилиндры нужны не только дома. Это деловые ребята, у которых есть важная работа. Их используют в инженерии и науке: в конструкции двигателей, в гидравлических, пневматических и других системах.

Если хочешь сдать ЕГЭ по математике на хорошие баллы, лучше присмотрись к цилиндру и его элементам. На экзамене могут встретиться задачи, которые без знаний о цилиндрах не решить. Тем, кто сдает «базу» повезло немного больше: им достаточно будет основ. А вот на профильном уровне ждет хардкор — сечения цилиндра в дополнение к основам.

Пришло время разобрать наш цилиндр на части и посмотреть, из чего он состоит.

Основания — это два круга, они одинаковы по площади и параллельны друг другу.

Боковая поверхность — это вся оставшаяся поверхность без оснований. Занимательный факт о ней мы расскажем позже.

Ось — это линия, которая проходит через центры оснований цилиндра и является прямой.

Высота — это расстояние между основаниями цилиндра.

Образующая — это линия, которая соединяет все точки на окружности одного основания цилиндра с соответствующими точками другой. 

Если представить цилиндр как трубу, то образующая будет линией, которая идет вдоль стороны цилиндра, от верхней точки до нижней точки.

Радиус — это расстояние от центра основания до любой точки на ее окружности.

Диаметр — это расстояние между двумя точками на противоположных сторонах основания, проходящее через центр.

Есть еще такое понятие «развертка». В списке тем из кодификатора ЕГЭ по математике о ней упоминают и советуют изучить для решения задач. Расскажем, что же это такое.

Цилиндр — это тело вращения. И если какая-то загадочная фигура вращается вокруг оси, образуя наш цилиндр, в теории, мы можем взять и развернуть ее. 

Просто представь, что мы взяли ножницы, принялись резать наш цилиндр по всей длине одной из образующих и развернули. У нас получился самый настоящий прямоугольник. У этого прямоугольника основание равно длине окружности основания, а высота — длине образующей.

Выходит, что цилиндр то наш — не что иное, как крутящийся вокруг оси прямоугольник и боковая поверхность является прямоугольником!

Теперь информация не для слабонервных, а точнее, для тех, кто планирует сдавать профильную математику. Впечатлительных гуманитариев просим убрать от экранов. Мы будем говорить о сечениях. Но на самом деле, все не так уж и страшно, оставайтесь все.

Сечение — это фигура, которая получается, если цилиндр пересекает плоскость. 

В зависимости от ориентации и вида плоскости сечения, могут быть получены различные фигуры. Посмотрим, какие фигуры могут получиться.

1. Представь, что мы плоскостью, как ножом режем наш цилиндр ровно через ось (не поверите, такое сечение называется осевым), тогда в сечении мы получим наш любимый прямоугольник.
2. Еще мы можем сдвинуть плоскость от оси, будто бы хотим отрезать кусочек поменьше, но так же оставить его параллельным оси. Угадайте, что получится — снова прямоугольник.
3. А вот если мы перевернем наш цилиндр и разрежем плоскостью перпендикулярно оси (ха, догадаетесь, как называется это сечение — перпендикулярное), то образуется круг. 
4. Есть более сложный вариант пересечения: мы вдруг перестали быть параллельно-перпендикулярными и захотели разнообразия, взяли и разрезали под углом к оси. Тогда мы можем получить в сечении фигуру с красивым названием эллипс.

По сути к свойствам цилиндра относятся факты о его элементах и сечениях. Соберем их всех, как покемонов, чтобы не забыть ни о чем.

1. У цилиндра всегда два основания, которые равны и параллельны друг другу.
2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, заключенная между параллельными плоскостями.
3. Образующие цилиндра равны между собой, параллельны и их длина равна длине высоты цилиндра.
4. Развертка боковой поверхности — это прямоугольник.

В задачах ЕГЭ тебе нужно будет вычислять объемы разных цилиндров, площади и радиусы. Встречаются в ЕГЭ и задачи на знание сечений. Тебе понадобится много разных формул.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Sб = 2πrh

r - радиус основания, h - высота цилиндра.

Объем цилиндра:

V = πr^2h

r - радиус основания, h - высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра:

Sп = 2πr(h + r)

r - радиус основания, h - высота цилиндра.

Радиус основания цилиндра, если известны его объем и высота:

r = √(V/πh)

V - объем цилиндра, h - высота цилиндра.

Высота цилиндра, если известны его объем и радиус основания:

h = V/(πr^2)

V - объем цилиндра, r - радиус основания.

Развертка цилиндра — это…

-прямоугольник;

-круг;

-развернуть цилиндр невозможно.

Площадь боковой поверхности цилиндра — 36π, а диаметр равен 12. Какова высота цилиндра?

-6;

-3;

-учитель сложное задает.

Какая фигура получится в сечении, если мы захотим разрезать прямоугольник пополам по оси?

-круг

-эллипс

-прямоугольник