Определение. Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны

В любом треугольнике можно провести медиану к каждой стороне, поэтому треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан является одной из замечательных точек треугольника.

Определение. Биссектриса треугольника-отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противолежащей стороне

В любом треугольнике можно провести биссектрису каждого угла, поэтому треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является одной из замечательных точек треугольника.

Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону

В любом треугольнике можно провести высоту к каждой стороне, поэтому треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот является одной из замечательных точек треугольника.

Задача. построить биссектрису данного угла

Пусть дан угол , проведем окружность с центром в точке  и произвольным радиусом, отметим точки  и -точки пересечения окружности со сторонами угла.

Проведем две окружности. Первую с центром в точке  и радиусом . Вторую с центром в точке  и радиусом . Данные окружности пересекутся в точке , лежащей внутри угла. Соединим точки  и , полученный отрезок биссектриса данного угла 

Докажем, что биссектриса угла 



Рассмотрим треугольники  и , треугольник равны по третьему признаку равенстве треугольников (общая,  так как это радиусы одной окружности,  по построению окружностей), следовательно, , значит луч биссектриса угла 

Дана прямая и точка, лежащая на ней. Отложим на прямой равные отрезки  и .

Дана прямая и точка, лежащая на ней. Отложим на прямой равные отрезки  и .



Построим две окружности радиуса  с центром в точках  и , которые пересекутся в точках  и . Проведём прямую через точки  и , эта прямая пройдет через точку . Докажем, что . Рассмотрим треугольник :  так как это радиусы одинаковых окружностей, следовательно треугольник  равнобедренный. Так как , то медиана, проведенная к основанию, значит высота

Задача. построить середину отрезка 



Построим две окружности с радиусом  и центром в точках  и . Они пересекутся в точках  и . Проведем прямую .Точка , полученная при пересечении прямой  с отрезком , является искомой серединой отрезка.

Докажем, что точка середина отрезка . Треугольники  и  равны по третьему признаку равенства треугольников ( как радиусы окружностей, общая сторона), следовательно угол 1 равен углу 2, значит биссектриса равнобедренного треугольника , а значит она также является медианой и высотой.