Медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике
Медиана треугольника
Определение. Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны
Медиана треугольника
В любом треугольнике можно провести медиану к каждой стороне, поэтому треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан является одной из замечательных точек треугольника.
Биссектрисы треугольников
Определение. Биссектриса треугольника-отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противолежащей стороне
Биссектрисы треугольников
В любом треугольнике можно провести биссектрису каждого угла, поэтому треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис является одной из замечательных точек треугольника.
Высоты треугольника
Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
Высоты треугольника
В любом треугольнике можно провести высоту к каждой стороне, поэтому треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот является одной из замечательных точек треугольника.
Построение биссектрисы угла
Задача. построить биссектрису данного угла
Пусть дан угол 
, проведем окружность с центром в точке и произвольным радиусом, отметим точки 
и 
-точки пересечения окружности со сторонами угла.
Построение биссектрисы угла
Проведем две окружности. Первую с центром в точке 
и радиусом 
. Вторую с центром в точке и радиусом 
. Данные окружности пересекутся в точке 
, лежащей внутри угла. Соединим точки и , полученный отрезок 
биссектриса данного угла
Построение биссектрисы угла
Докажем, что биссектриса угла
Рассмотрим треугольники 
и 
, треугольник равны по третьему признаку равенстве треугольников (общая, 
так как это радиусы одной окружности, 
по построению окружностей), следовательно, 
, значит луч биссектриса угла
Построение перпендикулярных прямых
Дана прямая и точка, лежащая на ней. Отложим на прямой равные отрезки 
и 
.
Построение перпендикулярных прямых
Дана прямая и точка, лежащая на ней. Отложим на прямой равные отрезки и .
Построим две окружности радиуса с центром в точках и , которые пересекутся в точках 
и . Проведём прямую через точки и , эта прямая пройдет через точку . Докажем, что 
. Рассмотрим треугольник 
: 
так как это радиусы одинаковых окружностей, следовательно треугольник равнобедренный. Так как 
, то 
медиана, проведенная к основанию, значит высота
Построение середины отрезка
Задача. построить середину отрезка
Построим две окружности с радиусом и центром в точках и . Они пересекутся в точках и . Проведем прямую 
.Точка 
, полученная при пересечении прямой с отрезком , является искомой серединой отрезка.
Построение середины отрезка
Докажем, что точка 
середина отрезка . Треугольники 
и 
равны по третьему признаку равенства треугольников (
как радиусы окружностей, 
общая сторона), следовательно угол 1 равен углу 2, значит 
биссектриса равнобедренного треугольника 
, а значит она также является медианой и высотой.
