Вписанная и описанная окружности
Определение вписанной окружности
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого
многоугольника
Определить, где изображена вписанная окружность
Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности
многоугольником.
Теорема о вписанной в треугольник окружности
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
В треугольник всегда можно вписать окружность т.к. точка пересечения биссектрис существует в
любом треугольнике
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех сторон, то можно вписать только
одну окружность
Формула площади треугольника
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него
окружности
Замечание. Данная формула применяется для всех многоугольников, в которые можно вписать
окружность
Описанный четырехугольник
Во всякий ли четырехугольник можно вписать окружность?
Нет!
Вывод условия для описанного четырехугольника
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Точки E ,F , K , P являются точками касания, поэтому
AE=AP=a , BE=BF=b ,CF=CK=c , DK=DP=d
AB+CD=a+b+c+d
BC+AD=a+b+c+d
Таким образом, можно сделать вывод, что в любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны
И обратно, если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равно, то в него
можно вписать окружность
Определение описанной окружности
Определите под какими номерами указаны описанные окружности.
Ответ: 1,3,6,7
Какой можно сделать из этого вывод?
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого
многоугольника лежат на окружности
Многоугольник, вокруг которого описана окружность, называется вписанным
Теорема об описанной около треугольника окружности
Теорема. Около любого многоугольника можно описать окружность
Около треугольника всегда можно описать окружность т.к. точка пересечения серединных
перпендикуляров существует в любом треугольнике
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, то
треугольник можно описать только одной окружностью
Вписанный четырехугольник
Всякий ли четырехугольник можно вписать в окружность?
Нет!
Условие для вписанного четырехугольника
В любом вписанном в окружность четырехугольнике сумма противоположных углов равна180◦
И обратно, если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180◦, то вокруг него
можно описать окружность
