Угол между плоскостями
Угол между двумя пересекающимися плоскостями
Давай вспомним что такое плоскость в геометрии, а потом заставим пересекаться, чтобы разобраться с углами между ними.
Итак, плоскость — это такая бесконечная поверхность, содержащая все прямые, которые проходят через две произвольные точки.
Чтобы не было так сложно, представим лист бумаги. Но ведь он же имеет края!
Попробуем подключить воображение. Мы ведь можем бесконечно продлевать этот лист во все стороны, чтобы в конце концов даже краев ее не видеть. Так что лист бумаги вполне подходит под наше описание.
А теперь немного усложним нашу воображаемую картинку и представим, как два листа бумаги пересекаются.
Лист 1 — это 𝝰, лист 2 — это 𝝱. Угол 𝞴, который образуется между нашими листами, и есть угол между плоскостями.
Этот угол можно найти, используя перпендикуляры. К линии пересечения плоскостей проводим перпендикулярные линии, которые лежат на 𝝰 и 𝝱, и угол между этими линиями будет равен углу между плоскостями 𝝰 и 𝝱.
Угол между пересекающимися прямой и плоскостью
Представим теперь некое пространство 𝞬, которое пересекает прямая. В этом случае тоже образуется некий угол.
Чтобы разобраться с величиной, нам нужно построить проекцию этой прямой на плоскость 𝞬. То есть провести перпендикуляры от каждой точки прямой.
После нахождения проекции образуется угол 𝝰 — это и есть искомый угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах
Есть теорема, связанная с наклонными, которые пересекают плоскости. И это теорма о трех перпендикулярах.
Звучит она так: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
Посмотрим на рисунок. Тогда станет понятнее. Как ты можешь видеть, здесь мы построили проекцию b наклонной АВ, которая пересекает 𝝰.
А также через основание А наклонной АВ провели прямую с, перпендикулярную проекции b. И суть нашего теоремы в том, что между прямой с и отрезком АВ будет 90 градусов.
Методы вычислений угла между плоскостями
В большинстве случаев углы можно найти с помощью дополнительных построений. То есть при определенных условиях задачи можно достроить по заданными параметрам более знакомые фигуры (треугольники, четырехугольники и другие) и найти угол через их свойства.
В других случаях можно решать задачи с использованием координатной плоскости 0xyz и векторов на ней.
Формулы могут различаться в зависимости от конкретных условий задачи.
Проверь себя
Угол между плоскостями — это…
– угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения;
– угол между линией пересечения и перпендикуляром к плоскости;
– любой угол в мире.
В чем смысл теоремы о трех перпендикулярах?
– Линия, которая перпендикулярна наклонной, перпендикулярна и плоскости.
– Проекция на плоскость перпендикулярна плоскости.
– Линия проведенная через основание наклонной, перпендикулярная проекции наклонной на плоскость, перпендикурлярна самой наклонной.
Угол между прямой и плоскостью — это…
– угол между прямой и любой точкой на плоскости.
– угол между прямой и ее проекцией на плоскость;
– всегда прямой угол.