Теорема о пересечении высот треугольника
Определение серединного перпендикуляра
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему
Теорема о серединном перпендикуляре
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка
Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка лежит на серединном перпендикуляре к нему
Дано:
отрезок, 
серединный перпендикуляр к отрезку 
, 
Доказать:
Доказательство:
Докажем первую часть доказательства
- Соединим концы отрезка с точкой
- Рассмотрим треугольники
общий катет, 
по двум катетам 
Таким образом доказана первая часть доказательства
Докажем вторую часть доказательства
Рассмотрим два случая:
1) 
: т.к. 
, то точки 
совпадают 
.
2) 
: 
равнобедренный 
медиана и высота 
.
Ч.т.д.
Следствия из теоремы
Следствие 1. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка , является серединный перпендикуляр к этому отрезку
Следствия из теоремы
Следствие 2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Точка 
равноудалена от углов треугольника.
Точка пересечения серединных перпендикуляров- замечательная точка треугольника.
Формулировка теоремы
Построим высоты для остроугольного треугольника
Формулировка теоремы
Построим высоты для тупоугольного треугольника
Формулировка теоремы
Построим высоты для прямоугольного треугольника.
Из данных построений можно сделать вывод, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
Дано:
высоты треугольника
Доказать:
Доказательство: 1) проведем прямые параллельные сторонам треугольника 
2)
параллелограмм
3)
параллелограмм 
4) из 2 и 3 следует, что 
5) Аналогично 
6) 
7) Аналогично 
8)
серединные перпендикуляры треугольника 
Ч.т.д.
Точка пересечения высот – замечательная точка треугольника
