Что можно сказать о точке D по отношению к сторонам угла ABC?

Проведем перпендикуляры из точки D на стороны AB и BC

рассмотрим треугольники BHD и BKD:

BD - общая сторона(гипотенуза)

∠HBD = ∠KBD ⇒ ΔBHD = ΔBKD ⇒ DH = DC

Таким образом, можно сделать вывод, что точка D равноудалена от сторон угла ABC

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон

этого угла



Обратно. Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от

сторон этого угла, лежит на его биссектрисе.

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и

равноудаленных от сторон угла, является биссектриса угла

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

В данном треугольнике ABC:

AH, BE, CK - биссектрисы, которые пересекаются в точке O



Точка O равноудалена от всех сторон треугольника

Точка пересечения биссектрис - замечательная точка треугольника.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в

отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Древнегреческий ученый Архимед доказал, что точка пересечения медиан

является центром тяжести треугольника (барицентром треугольника).

Точка пересечения медиан – замечательная точка треугольника.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через

середину отрезка и перпендикулярная к нему

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена

от концов этого отрезка



Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка лежит на

серединном перпендикуляре к нему

Следствие 1 Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от

концов отрезка , является серединный перпендикуляр к этому отрезку

Следствие 2 Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке.

Точка O равноудалена от углов треугольника.



Точка пересечения серединных перпендикуляров- замечательная точка

треугольника.

Построим высоты для остроугольного треугольника

Построим высоты для тупоугольного треугольника

Построим высоты для прямоугольного треугольника.

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной

точке:AH 1∩ BH 2∩C H 3=D



Точка пересечения высот – замечательная точка треугольника