Вписанная и описанная окружности треугольника
Вписанная в неразвернутый угол окружность
Окружность называется вписанной в неразвернутый угол, если она касается сторон этого угла
на рисунке окружности с центром в точках Aи B являются вписанными в угол, так как они
касаются сторон угла O, а окружность с центром в точке C не является вписанной, потому что она
касается только одной стороны угла
Вписанная в треугольник окружность
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника.
Треугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности
на рисунке окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC так как она касается
каждой стороны треугольника
Теорема о вписанной в треугольник окружности
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Дано:ΔABC
Доказать: в ΔABC можно вписать окружность
Доказательство: 1) проведем биссектрисы AO , BO ,CO
2) точка O является точкой пересечения биссектрис
⇒ потеореме обиссектрисе углаOE=OF=OP ,гдеOE⊥ AB ,OF⊥BC ,OD⊥ AC
3) окружность с центром в точке O и радиусом OE проходит через точки E ,F , D и касается
сторон треугольника в этих точках ⇒ окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC
Таким образом в треугольник всегда можно вписать окружность т.к. точка пересечения биссектрис
существует в любом треугольнике
Ч.т.д.
Единственность вписанной в треугольник окружности
Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех сторон, то можно вписать только
одну окружность
Описанная около треугольника окружность
Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на
окружности. Треугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.
По рисунку видно, что каждая вершина вписанного в окружность треугольника ABC лежит на
этой окружности
Теорема об описанной около треугольника окружности
Теорема. Около любого многоугольника можно описать окружность
Дано: ΔABC
Доказать: около ΔABC можно описать окружность
Доказательство: OD ,OE ,OK−¿серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
⇒ AO=BO=CO⇒ существует окружность с центром в точке O и радиусом AO=BO=CO=R,
которая будет проходить через вершины треугольника
Таким образом около треугольника всегда можно описать окружность т.к. точка пересечения
серединных перпендикуляров существует в любом треугольнике
Ч.т.д.
Единственность описанной около треугольника окружности
Сколько окружностей можно описать около треугольника?
Так как существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, то
треугольник можно описать только одной окружностью
