Конус

По сути, конус — это тот же треугольник. (Вот только математики математикам бы такое не понравилось.)

В математике конусом называют фигуру, полученную путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

В реальной жизни таким замысловатым и объемным треугольником может быть праздничный колпак, абажур, рожок мороженого, хвойные деревья и даже цветочные букеты.

У такого «усложненного треугольника» есть несколько важных элементов.

1. Вершина (точка В), которой считается верхняя точка фигуры. 
2. Основание — круг, который образовался при вращении и оказался в самом низу фигуры.
3. Боковая поверхность — это стенки фигуры, то есть все, что находится между вершиной и основанием.
4. Образующая (отрезок АВ) — отрезок, проведенный из вершины в любую из точек, лежащих на окружности основания (то есть не внутри круга, а именно на нем). По сути, образующая — это гипотенуза треугольника, который мы вращали для получения фигуры-виновника этой статьи.

Ой, кажется, мы пропустили еще один важный элемент — высоту! Она появится, если мы проведем перпендикуляр из вершины фигуры в центр ее основания. Ну, или если посмотрим на прямоугольный треугольник, который вращали и найдем один из его катетов ровно в этом же месте.

Как и у любой геометрической фигуры, у конуса есть свои, особые свойства. Они пригодятся тебе в решении задач.

Первое свойство. Все образующие конуса равны между собой.

А что, очень логично получается! Если образующая — это отрезок, соединяющий вершину фигуры и точку на окружности ее «фундамента», то нет разницы, где этот отрезок расположен. Он в любом случае останется равен гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основе.

Второе свойство. Осевым сечением (Осевое сечение — сечение, которое проходит через ось тела вращения) конуса является равнобедренный треугольник.

Если мы проведем осевое сечение в конусе, то получится треугольник. Его основание — это диаметр круга, лежащего в основании изначальной фигуры, а боковые стороны — образующие, которые, как мы выяснили выше, всегда равны. Вот и получился равнобедренный треугольник.

Третье свойство. Сечением, перпендикулярным оси конуса, является круг.

Переходим к непонятным знакам и вычислениям! Не переживай, сейчас они станут понятными.

Прежде чем начать работу с формулами, нам придется развернуть и разобрать этот маленький милый конус. Посмотреть, что у него внутри, — ведь внутренний мир всегда важнее внешнего, правда? Но ничего, мы его потом обратно соберем!

Что у нас получилось при таком развороте? Боковая поверхность фигуры превратилась в сектор круга, а «фундамент» так и остался кругляшом. Теперь перейдем к формулам.

Площадь боковой поверхности: S_бок = πRl, где R — это радиус основания, а l — длина образующей.

Площадь полной поверхности: S_кон = S_бок + S_осн, то есть S_кон = πRl + πR².

Объем: V = 1/3 S_оснH, или V = 1/3 πR²H, где R — радиус, а H — высота (да-да, та самая, проведенная из вершины в центр круга).

На нашем геометрическом празднике есть еще один гость. Знаешь, тот самый друг, который вечеринку в тропическом стиле приходит в костюме новогодней елки и очень выделяется на всех общих фото. Ну, потому что елка с ананасом в руках и на фоне гавайских рубашек — это, конечно, оригинально. И в нашем случае таким другом стал усеченный конус. Добро пожаловать на party!

Что отличает усеченный конус от обычного:

1. отсутствие вершины,
2. два «фундамента» вместо одного, 
3. происхождение.

Получается этакий современный дом с плоской крышей.

Усеченным конусом называется геометрическая фигура, образованная вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей из ее боковых сторон.

Ну или так: усеченный конус — это фигура, которая получается, когда мы проводим сечение, параллельное основанию, в фигуре, которая у нас была до этого.

Как мы уже говорили, у такой фигуры есть два «фундамента», а высотой называется перпендикулярный отрезок, соединяющий их центры. Образующие все так же равны между собой, а боковой поверхностью считается все, что лежит между двумя основаниями.

Осевое сечение такой фигуры образует равнобедренную трапецию, а сечение, параллельное обоим основаниям, так и остается кругом.

Ну что, последний шаг к полному просветлению в мире рожков мороженого и праздничных колпаков. Поехали!

Площадь боковой поверхности: S_бок = π(R + r), где R и r — это радиусы большего и меньшего оснований, а l — длина образующей.

Площадь полной поверхности: S_кон = S_осн1 + S_осн2, или S_кон = πR² + πr² + π(R + r)l.

Объем: V = 1/3 πH(R² + Rr + r²), где R и r — радиусы, а H — высота.

Вот и все! В этой статье мы изучили все факты, которые необходимо знать о фигуре. Пойдем проверять знания?

Из какой фигуры получен конус?

— Из равнобедренного треугольника.

— Из прямоугольного треугольника.

— Из трапеции.

Что не является образующей конуса?

— Гипотенуза прямоугольного треугольника.

— Отрезок, проведенный из вершины в одну из точек на основании.

— Бóльший катет прямоугольного треугольника.

Какую форму имеет сечение, параллельное основанию конуса?

— Форму равнобедренного треугольника.

— Форму трапеции.

— Форму круга.