Эту тему мы рассматриваем не просто так! В ЕГЭ есть задания на исследование графиков функций, и чтобы его выполнить и получить заветные баллы, нужно хорошо в них разбираться.

Поэтому сначала сначала вспомним, что функция — это зависимость одной величины от другой и обозначается как y=f(x). Множество значений, которые может принимать х, при этом удовлетворяя требования выражения, — это область определения функции. А те значения, которые может принимать y, — это область значений.

Все эти параметры можно отобразить графически: область определения — это проекция на ось 0х, а область значений — на ось 0у. Так и получается, что х и у встречаются в определенных точках на оси координат, по которым мы можем изобразить картину изменений заданной функции y = f(x).

График функции — это рисунок на оси координат, который показывает, как меняется одна величина (y) в зависимости от другой величины (x). 

В задачах экзамена по математике можно встретить графики линейной и степенной функций, корня, параболы, гиперболы, экспоненты и другие.

Теперь посмотрим, как построить график функции y. Мы можем сделать это как на бумаге, так и с помощью специальных программ, которые позволяют построить графики функций онлайн. 

1. Онлайн

Самыми популярными среди учащихся и студентов приложениями являются Desmos и Geogebra. Все достаточно просто: вводишь функцию (или даже несколько сразу!), указываешь область определения по желанию и программа построит график автоматически.

Это очень удобно, но не увлекайся. На экзамене все придется строить самостоятельно. Но в ходе подготовки приложение поможет изучить поведение той или иной функции, рассмотреть их динамику в зависимости от переменных и проверить правильность решения в сомнительных моментах.

2. На бумаге

Любые проекции на оси мы можем построить по точкам. Но далеко не всегда нам известны абсолютно все точки, через которые проходит наш график. И чтобы не мучиться, пытаясь представить, как все это должно выглядеть, математики выделили важные точки, которые и покажут нам вид графика.

1. стационарные (точки, в которых производная f(x) равна нулю) и критические (точки, в которых производная f(x) равна нулю либо не существует, а сама функция должна быть непрерывной);
2. точки экстремума (максимальное или минимальное значение на заданном множестве);
3. точки пересечения с осями (если есть);
4. точки разрыва (если f(x) не является непрерывной в точке x = a, то значит, что f(x) имеет разрыв в этой точке). 

Если мы будем знать расположение этих отметок, то и график сможем построить. И для этого нам нужно исследовать функцию по схеме:

1. Найти области определения и значений.
2. Проверить функцию на четность.
3. Проверить является ли функция периодической.
4. Найти точку пересечения с осью 0у (если она есть).
5. Вычислить производную и найти критические точки, промежутки возрастания и убывания, монотонности, асимптоты.
6. На основании проведенного исследования построить график.

1. Построить график функции y = (x² - 4) / (x + 2)

Упрощаем выражение, используя формулы сокращенного умножения:

y = (x² - 4) / (x + 2) = (x - 2)(x + 2) / (x + 2) = x - 2, при x ≠ -2

То есть графиком будет прямая x - 2.

Графики функций — это важный инструмент, который помогает нам понимать, как величины связаны друг с другом.

Что такое график функции?

1. графическое изображение зависимости у от х;
2. пересечение функции с осями координат;
3. расписание работы функции.

Что такое экстремум?

1. мороженое;
2. максимальное или минимальное значение на заданном множестве;
3. любая точка на графике.

Что такое точка разрыва?

1. Состояние мозга, когда невозможно построить график функции.
2. Если функция непрерывная, то ее можно в этой точке прервать.
3. Если функция не является непрерывной, то это та точка, в которой она имеет разрыв.