Признаки равенства треугольников

cover
8200
- Докажите равенство этих двух треугольников! - Да я вам отвечаю, на крови готов поклясться, что они равны!
26 января 2024 г.
Содержание статьи

Введение

Знакомая ситуация? Коварная геометрия нанесла удар, откуда и не ждали. И вот перед нами два абсолютно идентичных треугольника и необходимость точно сформулировать, почему они равны. Не спешим гадать на картах и клясться всем дорогим и близким, а запоминаем признаки равенства треугольников (их всего три, так что оставляем панику вместе с картами, в сторонке), при помощи которых задачи из геометрии решаются легко и просто.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а угол между этими сторонами так же равен углу между соответствующими сторонами, то два треугольника равны.


Допустим, мы должны подтвердить, что △ABC и его потенциальный близнец △DEF одинаковы. Известно, что стороны AB и DE и AC и DF попарно между собой равны, а ∠ CAB равен ∠ EDF. Таким образом, если мы попытаемся наложить △ABC на △DEF, то одинаковые стороны и углы совпадут, что и подтвердит равенство △ABC и △DEF.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два смежных угла одного треугольника равны соответствующим стороне и углам другого треугольника, то эти два треугольника равны.


Снова перед нами два “брата-акробата” - ΔABC и ΔDEF. Но на этот раз нам известно, что AB = DE, а ∠CAB и ∠CBA сообразно равны ∠FDE и ∠FED. Теперь, поскольку стороны и прилежащие к ним углы одинаковы, они будут полностью пересекаться друг с другом.

Точка F лежит и на стороне DF, и на стороне EF, поэтому F будет принадлежать и лучами AC и CB. А поскольку они пересекаются в точке C, то и точка F совпадет с точкой C. В результате, стороны DF и EF будут совмещены с AC и BC сообразно.


Как видим, при наложении ΔABC и ΔDEF абсолютно совпадают, а, следовательно, равны.

Третий признак равенства треугольников

Если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то оба треугольника равны.


Предположим, у небезызвестных ∆ABC и ∆DEF AB =DE, AC = DF и BC = FE. Значит, мы сможем наложить ∆DEF на ∆ABC так, чтобы вершины D и A, E и B совпали друг с другом, а точки F и C легли по разные стороны от отрезка AB. 


CF проходит внутри угла ACB, а так как AC = DF и BC = FE, то ∆ACF и ∆ BCF являются равнобедренными с основанием CF. Из свойства равнобедренных треугольников следует, что ∠DCF = ∠DFC и ∠FCE = ∠CFE. В результате ∠DCE = ∠DFE.

Поскольку стороны треугольников попарно равны, то можно заключить, что ΔABC = ΔDEF (вспоминаем теорему №1).


Важно запомнить, что, данные правила работают и “в обратную сторону”. Например, если ∆ABC = ∆DEF, то, следовательно, AB = DE, а ∠CAB = ∠FDE.

Примеры решения задач

Итак, теперь, когда мы кратко разобрались с признаками равенства треугольников, самое время закрепить новые знания практикой. 


Задача №1


Дано:


∆ABC и ∆ ACD

AB = AD

∠1=∠2


Необходимо доказать: ∆ABC = ∆ ACD


 Доказательство:

  1. Сторона AB в ∆ABC равна стороне AD в ∆ACD;
  2. Сторона AC - общая
  3. ∠1=∠2

Таким образом, согласно первому признаку равенства ∆ABC = ∆ACD



Задача № 2


Дано:


 ∆FBD и ∆ACF

CF = FB

∠ACF = 90॰

∠FBD = 90॰


Необходимо доказать: ∆ACF = ∆FBD

Найти: AD, если FD = 12см

Доказательство:


  1. CF = FB
  2. ∠ACF = 90॰ = ∠FBD
  3. ∠ AFC = ∠BFD, так как они вертикальные

Следовательно, ∆ACF = ∆FBD по второму признаку равенства.

Решение:


Если ∆ACF= ∆FBD, то FD = AF = 12 см (согласно третьему признаку равенства) 

AD = FD+AF

12+12 = 24

AD = 24 см


Ответ: 24 см


Заключение

Итак, мы узнали, по каким свойствам можно доказать равенство треугольников. Эти, скажем прямо, базовые принципы служат основой для решения куда более сложных задач и теорем. Геометрия - барышня коварная и временами докапывается до сущих мелочей, однако, в этом и есть ее особый шарм. В очевидных и легко решаемых ребусах уровня 7-8 класса скрываются ответы на сложнейшие загадки и тождества.

Проверь себя

Согласно первому признаку равенства, треугольники равны если:


  1. Все три стороны одного равны соответственно всем трем сторонам другого.
  2. Две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум соответствующим сторонам и углу другого.
  3. Два угла и прилегающая к ним сторона одного треугольника равны соответствующим углам и прилегающей к ним стороне другого.


Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковые гипотенузы и прилежащие к одному из катетов углы, то по какому признаку мы сможем подтвердить, что они равны?

  1. По первому 
  2. По второму
  3. По третьему 



Δ ABC = ΔDOH

AB = DO = 7

BC=OH

AC= 5 см


Какой длины OH, если она длиннее стороны DH в два раза?


  1. 13
  2. 14
  3. 10
Admin1