Признаки равенства треугольников

Введение
Знакомая ситуация? Коварная геометрия нанесла удар, откуда и не ждали. И вот перед нами два абсолютно идентичных треугольника и необходимость точно сформулировать, почему они равны. Не спешим гадать на картах и клясться всем дорогим и близким, а запоминаем признаки равенства треугольников (их всего три, так что оставляем панику вместе с картами, в сторонке), при помощи которых задачи из геометрии решаются легко и просто.
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а угол между этими сторонами так же равен углу между соответствующими сторонами, то два треугольника равны.
Допустим, мы должны подтвердить, что △ABC и его потенциальный близнец △DEF одинаковы. Известно, что стороны AB и DE и AC и DF попарно между собой равны, а ∠ CAB равен ∠ EDF. Таким образом, если мы попытаемся наложить △ABC на △DEF, то одинаковые стороны и углы совпадут, что и подтвердит равенство △ABC и △DEF.

Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два смежных угла одного треугольника равны соответствующим стороне и углам другого треугольника, то эти два треугольника равны.
Снова перед нами два “брата-акробата” - ΔABC и ΔDEF. Но на этот раз нам известно, что AB = DE, а ∠CAB и ∠CBA сообразно равны ∠FDE и ∠FED. Теперь, поскольку стороны и прилежащие к ним углы одинаковы, они будут полностью пересекаться друг с другом.
Точка F лежит и на стороне DF, и на стороне EF, поэтому F будет принадлежать и лучами AC и CB. А поскольку они пересекаются в точке C, то и точка F совпадет с точкой C. В результате, стороны DF и EF будут совмещены с AC и BC сообразно.
Как видим, при наложении ΔABC и ΔDEF абсолютно совпадают, а, следовательно, равны.

Третий признак равенства треугольников
Если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то оба треугольника равны.
Предположим, у небезызвестных ∆ABC и ∆DEF AB =DE, AC = DF и BC = FE. Значит, мы сможем наложить ∆DEF на ∆ABC так, чтобы вершины D и A, E и B совпали друг с другом, а точки F и C легли по разные стороны от отрезка AB.
CF проходит внутри угла ACB, а так как AC = DF и BC = FE, то ∆ACF и ∆ BCF являются равнобедренными с основанием CF. Из свойства равнобедренных треугольников следует, что ∠DCF = ∠DFC и ∠FCE = ∠CFE. В результате ∠DCE = ∠DFE.
Поскольку стороны треугольников попарно равны, то можно заключить, что ΔABC = ΔDEF (вспоминаем теорему №1).
Важно запомнить, что, данные правила работают и “в обратную сторону”. Например, если ∆ABC = ∆DEF, то, следовательно, AB = DE, а ∠CAB = ∠FDE.

Примеры решения задач
Итак, теперь, когда мы кратко разобрались с признаками равенства треугольников, самое время закрепить новые знания практикой.
Задача №1
Дано:
∆ABC и ∆ ACD
AB = AD
∠1=∠2
Необходимо доказать: ∆ABC = ∆ ACD
Доказательство:
- Сторона AB в ∆ABC равна стороне AD в ∆ACD;
- Сторона AC - общая
- ∠1=∠2
Таким образом, согласно первому признаку равенства ∆ABC = ∆ACD
Задача № 2
Дано:
∆FBD и ∆ACF
CF = FB
∠ACF = 90॰
∠FBD = 90॰
Необходимо доказать: ∆ACF = ∆FBD
Найти: AD, если FD = 12см
Доказательство:
- CF = FB
- ∠ACF = 90॰ = ∠FBD
- ∠ AFC = ∠BFD, так как они вертикальные
Следовательно, ∆ACF = ∆FBD по второму признаку равенства.
Решение:
Если ∆ACF= ∆FBD, то FD = AF = 12 см (согласно третьему признаку равенства)
AD = FD+AF
12+12 = 24
AD = 24 см
Ответ: 24 см
Заключение
Итак, мы узнали, по каким свойствам можно доказать равенство треугольников. Эти, скажем прямо, базовые принципы служат основой для решения куда более сложных задач и теорем. Геометрия - барышня коварная и временами докапывается до сущих мелочей, однако, в этом и есть ее особый шарм. В очевидных и легко решаемых ребусах уровня 7-8 класса скрываются ответы на сложнейшие загадки и тождества.
Проверь себя
Согласно первому признаку равенства, треугольники равны если:
- Все три стороны одного равны соответственно всем трем сторонам другого.
- Две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум соответствующим сторонам и углу другого.
- Два угла и прилегающая к ним сторона одного треугольника равны соответствующим углам и прилегающей к ним стороне другого.
Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковые гипотенузы и прилежащие к одному из катетов углы, то по какому признаку мы сможем подтвердить, что они равны?
- По первому
- По второму
- По третьему
Δ ABC = ΔDOH
AB = DO = 7
BC=OH
AC= 5 см
Какой длины OH, если она длиннее стороны DH в два раза?
- 13
- 14
- 10