Вписанная и описанная окружность

cover
3267
Знаешь символ даров смерти из Гарри Поттера? Для нас это просто окружность, вписанная в треугольник. Что это за окружность и какие у неё есть «волшебные» свойства — рассмотрим в нашей статье.
31 мая 2024 г.
Содержание статьи

Вписанная окружность

Для начала давай разберемся, что такое окружность.

Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. Площадь внутри этой кривой называется кругом. 


В разговорной речи, конечно, можно говорить «круг» вместо «окружности», и наоборот — но помнить принципиальное различие важно!


Ну а теперь можно поговорить и о вписанной окружности. Итак:

Вписанная окружность — это круг, построенный внутри многоугольника таким образом, что линия окружности касается всех его сторон. Радиус такой окружности обозначается в математике буквой R.

Свойства вписанной окружности

У нашей новой знакомой есть несколько интригующих характеристик, которые стоит изучить и запомнить: 


1) У нее есть центр, и это точка пересечения биссектрис (лучей,  исходящих из вершины угла и делящий этот угол пополам) всех внутренних углов описанного ей треугольника. 


Представь, что углы треугольника – это три друга, которые хотят встретиться. Биссектрисы – это дороги, которые они прокладывают, чтобы встретиться ровно посередине. Точка встречи этих дорог – центр вписанной окружности.


2) В каждый треугольник можно вписать окружность, но только одну.

Ты можешь попробовать начертить треугольник и вписать в него несколько окружностей — ставим сотку, что больше одной не получится.


3) Из предыдущего свойства доказывается теорема о том, что площадь описанного треугольника находится через произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности


4) Если же описывается равносторонний треугольник, то центр круга будет на точке пересечения его биссектрис, медиан (отрезки в треугольнике, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине) и высот (отрезки перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры на ее основание). 

Представим, что некий король решил построить дворец в форме треугольника с абсолютно равными сторонами, и в центре разместить большую круглую залу, к которой будут вести три прямых коридора. Эти три коридора пересекутся в самом центре залы.


5) Окружность может быть вписана только в такой четырехугольник, суммы противоположных сторон которого будут попарно равны.


Представим, что четыре товарища решили вместе заказать пиццу и вкусно покушать. Для того, чтобы оплатить свою трапезу они решили скинуться. Друзья a и b должны дать столько же денег сколько и друзья c и d — иначе никакой пиццы. По такому же принципу работает и наше правило.

Основные формулы для вписанной окружности

А теперь давай рассмотрим некоторые основные формулы для поиска радиуса вписанной окружности. В зависимости от типа той фигуры, с которой будет взаимодействовать наш круг, меняться будет и подход к поиску нужного значения:

Описанная окружность

Теперь перейдем к понятию описанной окружности. 

Описанная окружность — это круг, который изобразили вокруг многоугольника таким образом, что его сторон касаются все вершины фигуры внутри. Радиус такой окружности будет обозначаться буквой r.


Свойства описанной окружности

Описанная окружность также обладает своими интересными качествами:


1) В него можно вписать любой треугольник, но это может быть только один. Представь, что у тебя есть вкусный эчпочмак, который ты накрываешь сверху круглой тарелкой так, чтобы все его вершины коснулись края тарелки. Это может быть только один эчпочмак, и никак иначе.


2) Центр круга, построенного вокруг равностороннего треугольника, будет находиться в точке пересечения медиан (лучей, которые делят отрезок пополам), высот (лучей, которые образуют со сторонами углы в 90°) и биссектрис (лучей, которые делят углы пополам).

Представьте равносторонний треугольник как волшебный кристалл с тремя типами магических лучей: медианы, биссектрисы и высоты. Все эти лучи пересекаются в одной волшебной точке в центре кристалла, где и находится центр круга, который идеально обнимает все вершины.


3) Круг можно построить вокруг любого четырехугольника, сумма противоположных (это те, которые лежат напротив друг друга) углов которого составляет 180°.


Представим, что мы проводим обряд изгнания темных духов из дома, для чего мы проводим вокруг него волшебный круг, который будет касаться всех углов дома. Это у нас получится только в том случае, если противоположные углы дома будут давать в сумме 180°.


Основные формулы для описанной окружности

Для правильной работы с описанным кругом важно уметь находить длину его радиуса. Для этого, так же как и для вписанного, существует ряд формул, которые стоит запомнить:

Заключение

С применением свойств вписанной и описанной окружностей ты будешь встречаться регулярно на контрольных и в экзаменационных заданиях. Так что умение подставить нужную формулу или применить подходящее свойство может сыграть решающую роль!

Проверь себя

Какой четырехугольник можно вписать в круг?

  1. суммы противоположных сторон которого попарно равны
  2. все углы которого одинаковы по величине
  3. противоположные углы которого в сумме образуют 180°


Найдите длину стороны АС?

 

  1. 15 см
  2. 30 см
  3. 45 см


Найдите площадь трапеции ABCD?

  1. 49 см²
  2. 98 см²
  3. 196 см²



Admin1