Как решать вторую часть ОГЭ по математике

На деле вторая часть ОГЭ по математике не такая страшная, как кажется. У нее понятная структура, предсказуемые типы задач и четкие критерии проверки. Если знать, чего ждет эксперт, можно забирать баллы даже там, где раньше казалось, что шансов нет.
В этой статье разберем, какие задачи из второй части ОГЭ по математике встречаются на экзамене, как их оценивают, как правильно оформлять решение каждого типа и как распределить время, чтобы успеть все.

Что входит во вторую часть ОГЭ по математике

Экзаменационная работа состоит из 25 заданий. Первая часть — задания с 1 по 19, в них нужен только краткий ответ. С какого задания начинается 2 часть по математике ОГЭ? С 20-го. Во второй части шесть заданий, с 20 по 25, и все они требуют развернутого ответа.

ОГЭ, математика, вторая часть: задания делятся на два блока — алгебру и геометрию.

• Задание 20 — алгебра: преобразование выражения, уравнение, неравенство или система уравнений.
• Задание 21 — текстовая задача: на движение, работу, проценты, смеси.
• Задание 22 — график функции: построить график и ответить на вопрос по нему, чаще всего с параметром.
• Задание 23 — геометрическая задача на вычисление.
• Задание 24 — геометрическая задача на доказательство.
• Задание 25 — геометрическая задача на вычисление повышенной сложности.

Сложность растет внутри каждого блока: задание 20 — самое доступное в алгебре, 22 — самое трудное. В геометрии то же самое: 23 решают чаще, 25 — реже всех.

Важная деталь: геометрия нужна даже для тройки. Чтобы получить положительную оценку, нужно набрать не меньше 8 баллов, и из них минимум 2 — за задания по геометрии (это задания 15–19 первой части и 23–25 второй). На экзамен отводится 3 часа 55 минут, пользоваться можно линейкой и справочными материалами, которые выдают вместе с КИМ. Калькулятор запрещен.

Чем вторая часть отличается от первой

Главное отличие — в том, кто и как проверяет работу. Ответы первой части сканируются и сверяются компьютером: верное число — балл, неверное — ноль. Никого не интересует, как ты к нему пришел.

Вторую часть проверяют живые люди — эксперты предметной комиссии. Каждую работу смотрят два эксперта независимо друг от друга, а при большом расхождении в баллах подключается третий. Эксперт оценивает не только итоговое число, но и сам путь к нему: правильно ли выбран метод, все ли шаги на месте, есть ли обоснования.

Отсюда меняется и подход к решению. Верный ответ без объяснений во второй части почти ничего не стоит. Эксперт должен видеть ход мысли: откуда взялось уравнение, почему применена именно эта теорема, куда делся лишний корень. При этом писать сочинение не нужно. В методических рекомендациях для экспертов прямо сказано: лаконичное решение без неверных утверждений и с правильными выкладками считается решением без недочетов.

Решение записывается на отдельном бланке ответов № 2. Черновик на экзамене выдают, но его никто не проверяет. Все, что осталось в черновике, для эксперта просто не существует.

Как оцениваются задания второй части: баллы и частичный зачет

Балл за задание второй части — максимум 2. Всего за вторую часть можно получить 12 баллов из 31 возможного. Но главное здесь не максимум, а то, что между «все верно» и «ноль» есть промежуточный вариант — 1 балл частичного зачета.

Правила частичного зачета отличаются от задания к заданию. Вот что говорят критерии оценивания ФИПИ:

• Задание 20. 1 балл, если решение доведено до конца, но допущена описка или ошибка вычислительного характера. Важно: ошибкой вычислительного характера считается только арифметика. Неверная формула дискриминанта или ошибка в знаках при раскрытии скобок к ним не относятся.
• Задание 21. 1 балл, если ход решения верный, все шаги присутствуют, но допущена описка или вычислительная ошибка.
• Задание 22. 1 балл, если график построен верно, но значения параметра найдены неверно или не найдены вовсе.
• Задание 23. 1 балл, если ход решения верный, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка.
• Задание 24. 1 балл, если доказательство в целом верное, но содержит неточности.
• Задание 25. 1 балл, если ход решения верный, все шаги есть, но допущена описка или вычислительная ошибка.

Какой вывод из этого сделать? Частичный зачет дают за почти готовое решение с мелким промахом, а не за пару строчек в начале. Брошенное на середине уравнение в задании 20 или 21 принесет ноль. Поэтому стратегия такая: лучше довести до конца одно задание, чем начать три.

Исключение — задание 22. Здесь построенный график уже приносит балл, даже если на вопрос про параметр ответить не получилось. Это самый выгодный «недорешенный» номер: если умеешь строить графики, не пропускай его.

И еще одно правило: не пропускай задание только потому, что сомневаешься в ответе. Если решение выстроено логично, а ошибка закралась в арифметику, эксперт поставит балл. Пустая строка балла не принесет никогда. Если хочешь понять, сколько баллов нужно для нужной оценки, загляни в статью про шкалу перевода баллов ОГЭ в оценку.

Задание 20: уравнения, неравенства и системы

Задание 20 — самое доступное во второй части. Обычно это уравнение (часто высокой степени, которое сводится к квадратному), неравенство или система уравнений. Как научиться решать 2 часть ОГЭ по математике? Начни именно с этого номера: он проверяет базовую алгебру, и при аккуратном оформлении его реально решить почти каждому.

Пример. Решите уравнение (x − 2)²(x − 3) = 12(x − 2).

Первое желание — сократить обе части на (x − 2). Это грубая ошибка: так теряется корень x = 2. Правильный путь — перенести все в одну сторону и вынести общий множитель.

(x − 2)²(x − 3) − 12(x − 2) = 0
(x − 2)((x − 2)(x − 3) − 12) = 0
(x − 2)(x² − 5x − 6) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

x − 2 = 0, откуда x = 2;
x² − 5x − 6 = 0, D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 2, откуда x = 6 или x = −1.

Ответ: −1; 2; 6.

Что обязательно показать в решении, чтобы не потерять балл:

• — переход к виду «произведение равно нулю» вместо деления на выражение с переменной;
• — вычисление дискриминанта и формулу корней, а не только сами корни;
• — если в уравнении есть дробь или корень — область допустимых значений и проверку корней по ней;
• — в неравенстве — метод интервалов с расставленными знаками и аккуратную запись промежутков со скобками;
• — в системе — выбор метода (подстановка или сложение) и нахождение обеих переменных.

Задание 21: текстовые задачи

В задании 21 нужно перевести условие на язык математики: ввести переменную, составить уравнение и решить его. Чаще всего встречаются задачи на движение (в том числе по воде), на совместную работу, на проценты и концентрации.

Пример. Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше.

Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч.

Пусть скорость течения равна v км/ч. Тогда скорость лодки против течения — (10 − v) км/ч, по течению — (10 + v) км/ч. Время против течения — 91 / (10 − v) ч, по течению — 91 / (10 + v) ч. По условию разница составляет 6 часов:

91 / (10 − v) − 91 / (10 + v) = 6.

Приводим к общему знаменателю: 91(10 + v) − 91(10 − v) = 6(100 − v²), то есть 182v = 600 − 6v². Получаем 3v² + 91v − 300 = 0. D = 8281 + 3600 = 11881 = 109². Корни: v = 3 и v = −100/3. Второй корень не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 3 км/ч.

На что обратить внимание при оформлении:

• — явно напиши, что обозначено переменной и в каких единицах;
• — объясни, откуда взялось каждое выражение в уравнении;
• — проверь корни на соответствие условию и прямо напиши, почему лишний корень отброшен;
• — следи за единицами: если скорость в км/ч, а время дано в минутах, переведи минуты в часы;
• — в ответе укажи единицы измерения.

Задание 22: график функции

Задание 22 — самое сложное в алгебраическом блоке. Нужно построить график функции (часто дробной или кусочно заданной) и ответить на вопрос о параметре: при каких значениях прямая имеет с графиком одну, две или ни одной общей точки.

Пример. Постройте график функции y = (x⁴ − 13x² + 36) / ((x − 3)(x + 2)) и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Раскладываем числитель на множители: x⁴ − 13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3). После сокращения получаем y = (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6 при условии x ≠ 3 и x ≠ −2.

Графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (−0,5; −6,25), из которой выколоты две точки: (3; 6) и (−2; −4).

Прямая y = c горизонтальна. Ровно одна общая точка возможна в трех случаях: прямая проходит через вершину параболы (c = −6,25) или через одну из выколотых точек, так как тогда из двух точек пересечения остается только одна (c = 6 и c = −4).

Ответ: c = −6,25; c = −4; c = 6.

Критерии ФИПИ отдельно перечисляют, что входит в верное построение графика: масштаб на осях, таблица значений или объяснение построения и выколотые точки, отмеченные в соответствии с их координатами. Без этого балл за график не засчитают, даже если сам вопрос про параметр решен верно.

Геометрические задания 23–25

Геометрический блок второй части состоит из трех задач. Для всех трех действуют общие правила оформления:

• — аккуратный чертеж, сделанный по линейке, с обозначением всех точек из условия;
• — явные ссылки на теоремы и признаки: не просто «треугольники равны», а «треугольники равны по трем сторонам»;
• — каждое утверждение опирается на условие или на уже доказанный факт.

Без обоснований эксперт не засчитает решение полностью, даже если итоговый ответ верный.

Задание 23: вычисление. Нужно найти длину отрезка, угол или площадь. Решение задачи обычно укладывается в два-три шага с опорой на подобие треугольников, теорему Пифагора, свойства параллелограмма или окружности.

Пример. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что AB = 20, AC = 15, MN = 12. Найдите AM.

Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол B общий, а углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB. Отсюда BM / BA = MN / AC = 12 / 15 = 4/5, значит BM = 16, а AM = 20 − 16 = 4. Ответ: 4.

Задание 24: доказательство. Здесь нет числового ответа: нужно доказать утверждение. Именно в этом задании чаще всего теряют баллы из-за пропущенных обоснований.

Пример. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Рассмотрим треугольники EBC и EAD. В них EB = EA, так как E — середина AB; BC = AD как противоположные стороны параллелограмма; EC = ED по условию. Значит, треугольники равны по трем сторонам, и угол B равен углу A. Но углы A и B — односторонние при параллельных AD и BC, их сумма равна 180°. Следовательно, каждый из них равен 90°, и параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Задание 25: задача повышенной сложности. Это самая трудная геометрическая задача экзамена. Обычно она требует соединить несколько идей: вписанные и описанные окружности, подобие, теорему синусов или косинусов, свойства биссектрис. Решение длиннее, чем в 23-м, но правила оформления те же: чертеж, обоснование каждого шага, верные вычисления. За верный ход решения с одной вычислительной ошибкой здесь дают 1 балл.

Частые ошибки в оформлении решений второй части

Больше всего баллов на ОГЭ 2 часть теряют не из-за незнания темы, а из-за небрежного оформления. Вот ошибки, которые эксперты встречают чаще всего:

• — Пропущенные промежуточные шаги. Сразу написаны корни без дискриминанта или разложения на множители. Эксперт не может проверить, откуда взялись числа.
• — Деление на выражение с переменной. Классическая потеря корня, как в примере к заданию 20.
• — Нет области допустимых значений. В уравнении с дробью в ответ попадает корень, при котором знаменатель обращается в ноль.
• — Нет обоснования в геометрии. «Углы равны» без указания, почему: вертикальные, соответственные, как углы при основании равнобедренного треугольника.
• — Небрежный или нечитаемый чертеж. Нет обозначений, не видно выколотых точек, график нарисован без масштаба.
• — Лишний корень в текстовой задаче. Отрицательная скорость или дробное число рабочих остались в ответе.
• — Ответ без единиц измерения или в других единицах, чем спрашивают в условии.
• — Решение в черновике. Задание решено, но на бланк перенесен только ответ.

Совет простой: после каждого решения перечитай его глазами эксперта. Понятно ли, откуда взялась каждая строчка? Если нет — допиши одно-два предложения.

Как распределить время и с чего начинать

На весь экзамен дается 235 минут. Время на экзамене легко потерять, если решать без плана. Хорошая стратегия выглядит так:

1. 1. Сначала закрой первую часть. Это 19 баллов за задания с кратким ответом, в том числе привычные темы вроде арифметических и геометрических прогрессий. На первую часть обычно уходит от полутора до двух часов.
2. 2. Во второй части начни с самого понятного. Решать задания по порядку не обязательно. Чаще всего проще даются 20 и 23, с них и стоит начать.
3. 3. Не застревай. Если за 15–20 минут задание не поддается, переходи к следующему и вернись к нему позже.
4. 4. Помни про задание 22. Даже если не уверен в параметре, аккуратно построенный график может принести балл.
5. 5. Оставь 10–15 минут на проверку. Сверь ответы в бланке, проверь, что все решения второй части перенесены из черновика.

Подготовка к ОГЭ по математике 2 часть требует тренировки именно в таком режиме: с таймером, на реальных вариантах и с полным оформлением. Практика решения важнее, чем чтение готовых разборов: типы заданий повторяются из года в год (2 часть ОГЭ, математика, задания 20–25 строятся по одним и тем же схемам), и после десятка решенных вариантов оформление станет автоматическим. Подробный план по всем темам экзамена есть в статье «Как подготовиться к ОГЭ по математике».

Заключение

Как решать 2 часть ОГЭ по математике без страха? Понять главное: по содержанию она не сильно сложнее первой, но требует другого навыка — умения аккуратно и полно записывать решение. Этот навык тренируется так же, как счет или знание формул, и подготовка к экзамену без него неполная. Разбери типовые задания, посмотри критерии оценивания, реши несколько вариантов с полным оформлением — и вторая часть перестанет казаться непреодолимой.

Начинать лучше уже сейчас, чтобы к весне оформление стало привычкой. Попробуй бесплатное занятие на платформе «Сотка»: подготовка к ОГЭ по математике на платформе «Сотка» — это материалы, разработанные с учетом структуры ОГЭ, и задания для самопроверки по каждой теме.

Частые вопросы о второй части ОГЭ по математике

Можно ли сдать ОГЭ по математике на хорошую оценку, вообще не решая вторую часть?

Да. За первую часть можно получить до 19 баллов, а для четверки достаточно 15, для тройки — 8. Главное условие: минимум 2 балла из них должны быть за геометрию. А вот пятерка без второй части невозможна: для нее нужно не меньше 22 баллов. Решенное задание 20 или 23 дает хороший запас на случай ошибок в первой части.

Нужно ли решать задания второй части по порядку?

Нет. Порядок выполнения ты выбираешь сам, главное — правильно указать номер задания на бланке ответов № 2. Разумнее начинать с самых понятных заданий, обычно это 20 и 23, а к более сложным 22, 24 и 25 переходить после них. Так ты точно заберешь баллы, в которых уверен.

Сколько в среднем баллов дают за вторую часть выпускники?

Результаты сильно различаются по заданиям. По аналитическим материалам ФИПИ, с заданиями 20 и 23 справляется заметная доля участников, а задания 22, 24 и 25 полностью решают немногие. Поэтому даже одно-два верно оформленных задания дают серьезное преимущество.

Что делать, если не хватило времени доделать задание второй части?

Перенеси на бланк все, что успел сделать верно. В заданиях 20, 21, 23 и 25 незаконченное решение обычно не приносит балла, но в задании 22 верно построенный график оценивается отдельно. Чтобы такого не случилось, следи за временем: при нехватке минут лучше довести до конца одно задание, чем бросить два на середине.