Арифметические и геометрические прогрессии на ОГЭ

Появились трудностями с прогрессиями при подготовке к экзаменам? Напомним, что такое прогрессия, и как бороться с задачами этой темы ОГЭ по математике.

24 635

Что такое последовательность

Последовательность — это набор элементов, расположенных в определенном порядке. Каждый элемент в последовательности имеет свой индекс, который определяет его место в порядке следования.

Например, последовательность целых чисел может быть представлена в таком виде: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и далее. В этом случае каждое число имеет свой индекс, например, a₁ = 1, a₂ = 2 до конечного элемента а_n, где n — это количество элементов в последовательности.

В задачах ОГЭ по математике 9 класса последовательности представлены арифметическими и геометрическими прогрессиями.

Школьникам часто задают задания, которые требуют определения элемента последовательности, нахождения суммы первых n элементов или нахождения количества элементов в последовательности.

Чтобы решать такие задачи, необходимо знать свойства и характеристики прогрессий, уметь применять формулы и методы для решения задач на последовательности.

Какие виды последовательностей бывают

В курсе математики 9 класса можно встретить несколько видов последовательностей, но для ОГЭ важны три основных типа:

Обычные числовые последовательности:

Последовательность четных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Последовательность чисел, кратных 5: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Арифметическая прогрессия:

Последовательность чисел, где каждый следующий элемент больше предыдущего на 3: 1, 4, 7, 10, 13, ... (разность прогрессии равна 3).
Последовательность, где каждый следующий элемент меньше предыдущего на 5: 20, 15, 10, 5, 0, ... (разность прогрессии равна -5).

Геометрическая прогрессия:

Последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на 2: 1, 2, 4, 8, 16, ... (знаменатель прогрессии равен 2).
Последовательность, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на -0,5: 1, -0,5, 0,25, -0,125, 0,0625, ... (знаменатель прогрессии равен -0,5).

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это разновидность числовой последовательности, в которой каждый новый компонент на фиксированное значение отличается от предшествующего. Это значение называют разностью.

Прогрессия описывается правилом a_n+1 = a_n + d.

Можно представить ее как: а₁, а₂, а₃, ..., a_n, где a₁ будет первым элементом, а_n — n-м элементом, а разность d можно определить разницей между двумя соседними членами a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = a_n - a_n-1.

Например, последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19 может называться арифметической прогрессией, так как каждый последующий член отличается от предыдущего на фиксированное значение 4. Элемент a₁ = 3, разность d = 4.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Такая последовательность имеет определенную закономерность в построении. Элемент n — это всегда среднее арифметическое значение от соседних членов прогрессии. Исключение составляют первый и последний члены, которые не имеет соседнего с одной из сторон.

a_n = (a_n-1 + a_n+1) / 2
Условие: n > 1.

Как решать задачи с арифметической прогрессией на ОГЭ

Для решения задач экзамена после 9 класса нужно знать основные формулы и правила, которые применяются для арифметических прогрессий. Задания могут включать в себя поиск суммы, определения конкретного элемента и прочее.

Разность d равна разнице между любыми двумя соседними элементами последовательности: d = a_n - a_n-1.
Если нужно найти определенный член a_n, используй формулу: a_n = a₁ + (n - 1) * d.
a₁ — первый член прогрессии, n — номер искомого члена, d — разность.
Сумму n членов прогрессии можно вычислить по формуле: S_n = (a₁ + a_n) * n / 2.
a₁ — первый элемент, a_n — n-й элемент, n — количество элементов.
Если необходимо найти номер члена, который соответствует заданному значению, подойдет формула: n = (a_n - a₁) / d + 1.
a₁ — первый член, a_n — искомый член, d — разность.

Важно внимательно читать условие задачи, чтобы понимать, какие данные уже имеются, и что конкретно тебя просят найти.

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это разновидность числовой последовательности, в которой каждый новый компонент получается умножением предшествующего на фиксированное значение. Это значение называют знаменателем.

Прогрессия описывается правилом: b_n = b_n-1 * q, где q — знаменатель, n — номер члена прогрессии.

Например, последовательность чисел 3, 9, 27, 81, 243 может называться геометрической прогрессией, так как каждый последующий член отличается от предыдущего в фиксированные 3 раза. Элемент b₁ = 3, знаменатель q = 3.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Последовательность тоже имеет определенную закономерность в построении. Квадрат элемента n — это всегда произведением предыдущего и последующего элемента. Исключение составляет первый элемент, который не имеет соседнего с одной из сторон.

a_n² = (a_n-1 * a_n+1)

Сумма первых членов и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

где:
b1 — первый член прогрессии,
q — знаменатель прогрессии,
n — количество членов прогрессии.

Эта формула будет работать, если q ≠ 1.

Эта формула применяется, когда нужно найти сумму нескольких первых элементов последовательности.

Отдельно выделяют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Она возникает, если ∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1. В таких задачах последовательность постепенно «сходит» к нулю, а сумма всех ее членов имеет конечное значение. На ОГЭ такие задания встречаются редко, но базовое понимание принципа помогает лучше ориентироваться в теме, так что запомнить ее будет полезно.

Как решать задачи с геометрической прогрессией на ОГЭ

Для решения задач на ОГЭ также нужно знать формулы и правила, которые описывают свойства прогрессии. Задания могут включать в себя нахождение суммы компонентов, нахождение n-го члена и прочее.

Знаменатель q равен частному от деления члена прогрессии на предыдущий член: q = b_n / b_n-1.
Если нужно найти определенный член b_n, используй формулу: b_n = b₁ * q^(n-1).
b₁ — первый компонент, q — знаменатель, n — номер компонента.
Сумму n членов прогрессии можно вычислить по формуле: S_n = b₁ * ((1 - qⁿ) / (1 - q)),
b₁ — первый компонент, q — знаменатель, n — количество элементов в последовательности.

При решении задач нужно внимательно читать условия и уметь работать со степенями и извлечениями корней.

В каких заданиях ОГЭ есть задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию

На этапе 9-го класса, задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии могут встречаться в разделе «Алгебра и начала анализа». В демонстрационном варианте ОГЭ по математике 2024 года задание на знание свойств прогрессии встречается под номером 14. Скачать демонстрационный вариант можно на сайте ФИПИ.

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии могут иметь разный уровень сложности, поэтому для успешного решения на ОГЭ нужно иметь хорошее понимание основных понятий и формул, связанных с арифметическими и геометрическими прогрессиями.

Если прогрессии все еще кажутся тебе сложными, то начинай подготовку в «СОТКЕ». Наши преподаватели объяснят так, чтобы ты понял абсолютно все. А разнообразные практические задания и качественная проверка с работой над ошибками помогут закрепить твои знания и повысить уверенность в себе.

Заключение

Арифметические и геометрические прогрессии — важная тема ОГЭ по математике, которую реально освоить при системной подготовке. Понимание формул, умение читать условия и регулярная практика позволяют уверенно решать экзаменационные задания и набирать баллы.

Записывайся на бесплатный вводный урок, в «СОТКЕ» ты сможешь подготовиться к 4-м предметами по цене одного.