Задание №13 ЕГЭ математика профиль: как решать уравнения всех типов

С задания № 13 начинается вторая часть ЕГЭ по профильной математике. То есть — требуется развернутый ответ. Задача не самая сложная, за победу над ним можно получить 2 заветных первичных балла. В статье разберемся, как решать 13 задание ЕГЭ математика профиль, классифицируем «врагов» по типам и на конкретных примерах покажем путь к верному ответу.

6 072

Что такое задание №13 по ЕГЭ и почему его важно решить

13 задание ЕГЭ математика (профиль) — это два уравнения, но выбрать нужно только одно и решить его, подробно расписав ход решения. Уравнения не простые, а тригонометрические, показательные, логарифмические или их хитрые комбинации. Часто после решения выпускников ждет второй этап — отбор корней, принадлежащих указанному отрезку или промежутку.

Тем, кто идет на высокий балл для поступления в ведущие образовательные учреждения, пропускать это задание не стоит: не стоит терять 2 заветных первичных балла. Его решение показывает, что ты умеешь не просто считать, а мыслить логически и применять сложные формулы для 13 задания ЕГЭ по математике. Важно подготовиться к экзамену по всем фронтам.

4 основных типа уравнений в задании №13 ЕГЭ (и как их узнавать)

Чтобы победить врага, его нужно знать в лицо. Вот главные типы уравнений, которые тебя ждут.

Тригонометрические. Их опознавательные знаки — sin, cos, tg или ctg. Переменная всегда находится под знаком тригонометрической функции, например, sinx или cos(2x).
Показательные. Здесь переменная, которую нужно найти, прячется в показателе степени. Выглядит это так: 2^x = 8 или 3^(x-1) = 27.
Логарифмические. Их выдает присутствие log, lg или ln. Уравнение строится на свойствах логарифмов: log₂(x) = 5.
Комбинированные. Самые коварные. Они сочетают в себе разные функции, например, логарифмическую и показательную. Для их решения нужно проявить смекалку.

Универсальный алгоритм решения №13 задания по ЕГЭ за 3 шага

Независимо от типа уравнения, твой алгоритм атаки должен быть следующим. Включи отработку стратегий решения в свой план подготовки к ЕГЭ, чтобы отточить навык до идеала.

Шаг 1. Определить тип уравнения и ОДЗ

Первым делом внимательно прочитай задание: нужно понять, что от тебя требуется. Как мы уже говорили, тебе предстоит решить уравнение и чаще всего указать корни, принадлежащие той или иной области.

Посмотри на уравнение и пойми, с каким типом имеешь дело: логарифмическим, тригонометрическим, показательным или комбинированным (чаще всего).

После этого определи, в какой области допустимых значений (ОДЗ) должны находиться корни.

Это критически важно для логарифмических уравнений (выражение под логарифмом должно быть > 0) и уравнений с корнями (подкоренное выражение ≥ 0). Это убережет тебя от посторонних корней.

Шаг 2. Выбрать метод решения и решить уравнение

После определения условий задания тебе нужно выбрать метод решения и пройти весь путь до получения ответа. Вот основные методы:

Разложение на множители: в первую очередь нужно раскрыть скобки, упростить подкорневые значения, — в общем, привести уравнение к виду, в котором его будет проще решить.
Использование специальных формул: здесь тебе пригодятся все формулы тригонометрии, свойства логарифмов и корней. После решения вспоминай, как пользоваться числовой окружностью или неравенствами, чтобы выбрать все корни уравнения, принадлежащие ОДЗ.

Шаг 3. Записать ответ (с учетом ОДЗ и отбора корней)

Итак, получив предварительные решения, возвращайся к ОДЗ и отбрось все значения, которые не удовлетворяют условие.

Если в условии просят найти корни, принадлежащие отрезку, отметь их на окружности (для тригонометрии) или решите неравенства для других типов. Правильная запись ответа — твой путь к заветным баллам, так что не игнорируй правила заполнения бланков.

Разбор примеров по типам уравнений

Для полноценного разбора 13 задания ЕГЭ по математике профильного уровня посмотрим, как наш алгоритм работает в реальных условиях и проясним оставшиеся вопросы.

Пример 1: Тригонометрическое уравнение (и отбор корней)

Уравнение: √2 * cosx = 1. Найти корни, принадлежащие промежутку [-π; 2π].

Тип: тригонометрическое. ОДЗ не нужна.
Решаем: делим обе части на √2. Получаем cosx = 1/√2. По формуле, x = ± arccos(1/√2) + 2πk = ± π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: теперь отберем корни на отрезке [-π; 2π]. Подходят: -π+π/4 = -3π/4; π/4; 2π - π/4 = 7π/4.

Пример 2: Показательное уравнение

Уравнение: 9x - 4 * 3x + 3 = 0.

Тип: показательное.
Решаем: Замечаем, что 9x = (3²)x = (3x)². Делаем замену: пусть t = 3x, t > 0. Уравнение примет вид: t² - 4t + 3 = 0. Корни: t=1, t=3. Возвращаемся: 3x = 1 => x=0; 3x = 3 => x=1.
Ответ: 0; 1.

Пример 3: Логарифмическое уравнение (с ОДЗ)

Уравнение: log₂(x) + log₂(x+2) = 3.

Тип: логарифмическое. Сразу ищем ОДЗ: x > 0 и x+2 > 0 => x > 0.
Решаем: Используем свойство суммы логарифмов: log₂(x(x+2)) = 3. Переходим от логарифма к уравнению: x(x+2) = 2³ => x² + 2x - 8 = 0. Корни: x=2 и x=-4.
Ответ: Учитываем ОДЗ (x>0). Посторонний корень x=-4 отбрасываем. Остается x=2.

Топ-3 ошибки в задании №13 по ЕГЭ и как их избежать

Давай разберемся, где спотыкается большинство выпускников.

Потеря корней или появление посторонних. Это один из главных врагов.
Как избежать: всегда начинай с ОДЗ и в конце делай проверку найденных корней, подставляя их в исходное уравнение. Это пригодится не только здесь, но и при решении 12 задания ЕГЭ по профильной математике, где нужно внимательно работать с областью определения функции.
Ошибки в формулах и преобразованиях. Неверно примененная формула — верный путь к нулю за задание.
Как избежать: регулярно повторяй основные формулы тригонометрии и свойства логарифмов. Лучше всего — систематически решать больше задач по ЕГЭ на практике, применяя изученный материал.
Неправильный отбор корней в тригонометрии.
Как избежать: всегда используй тригонометрическую окружность для визуализации. Помни, что корни — это точки на этой окружности, и нужно аккуратно выбрать те, что попадают в заданный промежуток.

Краткая памятка для решения

ОДЗ — твой лучший друг. Начинай всегда с нее.
Определи тип уравнения. Разный враг — разное оружие.
Помни про отбор корней. Особенно в тригонометрических уравнениях.
Практика — ключ к успеху. Начинай подготовку к ЕГЭ по математике заранее, чтобы успеть пройти все возможные примеры и закрепить на практике решение даже самых сложных задач.