Как решать задание 12 ЕГЭ по профильной математике: 2026 и 2027 годы

Задание 12 ЕГЭ по профильной математике в 2026 году проверяет исследование функции с помощью производной: нужно найти точку максимума или минимума. В проекте демоверсии 2027 года под номером 12 стоит другое задание: чтение графика функции. Производная в 2027 году проверяется в других номерах, поэтому навык из этой статьи остаётся нужным.

Что проверяет задание 12 и что меняется в 2027 году

В варианте 2026 года задание 12 требует применить производную к функции, заданной формулой. Чаще всего нужно найти точку максимума или точку минимума, иногда наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Ответ: одно число.

В проекте демоверсии ЕГЭ-2027 на сайте ФИПИ структура другая. Задание 12 относится к повышенному уровню, за него дают 1 балл, и в проекте оно связано с графиками функций: по рисунку нужно определить параметр функции и найти её значение. Задача на точку максимума по формуле в части 1 проекта отсутствует.

Производная в проекте 2027 года проверяется в двух местах:

• задание 9: по графику производной нужно найти точки экстремума или другие характеристики функции;
• задача с практическим сюжетом во второй части, где решение сводится к поиску точки максимума функции.

Проект демоверсии ещё не утверждён: итоговые документы ФИПИ ожидаются в первой половине ноября 2026 года. Если вы сдаёте экзамен в 2027 году, проверьте номера и формулировки после публикации утверждённой версии.

Какие формулы производных нужно знать

Производная показывает скорость изменения функции. Для решения нужны несколько формул и правила дифференцирования.

Функция f(x)	Производная f'(x)
c (число)	0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	−sin x
tg x	1/cos²x

Правила:

Правило	Формула
Сумма	(u + v)’ = u’ + v’
Постоянный множитель	(c·u)’ = c·u’
Произведение	(u·v)’ = u’·v + u·v’
Частное	(u/v)’ = (u’·v − u·v’) / v²
Сложная функция	(f(g(x)))’ = f'(g(x))·g'(x)

Короткий пример: для y = (x − 3)·eˣ⁻² применяем правило произведения: y’ = 1·eˣ⁻² + (x − 3)·eˣ⁻² = (x − 2)·eˣ⁻². Производная eˣ⁻² равна eˣ⁻², потому что внутренняя функция x − 2 имеет производную 1.

Как исследовать функцию с помощью производной

Исследование сводится к поиску точек, где производная меняет знак. Там функция меняет характер: возрастание сменяется убыванием или наоборот.

Как найти критические точки

Критические точки: значения x из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Порядок такой:

1. Найдите область определения функции.
2. Вычислите производную и упростите её.
3. Решите уравнение f'(x) = 0 и найдите точки, где f'(x) не существует.
4. Оставьте только те точки, которые входят в область определения.

Не всякая критическая точка служит точкой экстремума. Для y = x³ производная y’ = 3x² равна нулю при x = 0, но знак не меняется, и экстремума нет.

Как определить точки максимума и минимума

Отметьте критические точки на числовой прямой и определите знак f'(x) на каждом промежутке:

• если знак меняется с плюса на минус, это точка максимума;
• если знак меняется с минуса на плюс, это точка минимума;
• если знак не меняется, экстремума нет.

Точка максимума или минимума: значение x. Максимум или минимум функции: значение y = f(x) в этой точке. В задании всегда читайте, что именно спрашивается.

Как решать задание на поиск экстремума

Алгоритм для задачи вида «найдите точку максимума (минимума) функции»:

1. Запишите область определения.
2. Найдите f'(x) и упростите.
3. Решите f'(x) = 0.
4. Отметьте точки на прямой и расставьте знаки производной.
5. Определите смену знака и выберите нужную точку.
6. Запишите значение x, если спрашивают точку, и f(x), если спрашивают значение.

Пример 1. Многочлен

Условие: найдите точку максимума функции y = x³ − 27x.

Решение. Область определения: все действительные числа. Производная: y’ = 3x² − 27 = 3(x − 3)(x + 3). Корни: x = −3 и x = 3.

Знаки производной: при x < −3 она положительна, на промежутке (−3; 3) отрицательна, при x > 3 положительна. В точке x = −3 знак меняется с плюса на минус: это точка максимума. В точке x = 3 знак меняется с минуса на плюс: это точка минимума.

Проверка: f(−3) = −27 + 81 = 54, f(3) = 27 − 81 = −54, значения согласуются со сменой роста и убывания.

Ответ: −3.

Пример 2. Показательная функция

Условие: найдите точку минимума функции y = (x − 3)·eˣ⁻².

Решение. Область определения: все действительные числа. Производная: y’ = (x − 2)·eˣ⁻². Множитель eˣ⁻² всегда положителен, поэтому знак задаёт множитель (x − 2). При x < 2 производная отрицательна, при x > 2 положительна. Знак меняется с минуса на плюс в точке x = 2.

Ответ: 2.

Как найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Для функции, непрерывной на отрезке, наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах. Поэтому проверка концов обязательна.

Алгоритм:

1. Найдите производную и критические точки.
2. Выберите те из них, которые лежат на заданном отрезке.
3. Вычислите значения функции в этих точках и на обоих концах.
4. Сравните значения и выберите нужное.

Пример 3. Наибольшее значение на отрезке

Условие: найдите наибольшее значение функции y = 2x³ − 9x² + 12x + 1 на отрезке [0; 3].

Решение. Производная: y’ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Критические точки: x = 1 и x = 2, обе принадлежат отрезку.

Значения функции:

x	y
0	1
1	6
2	5
3	10

Наибольшее значение равно 10 и достигается на правом конце отрезка. Наименьшее равно 1 и достигается на левом конце. Если бы вы проверили только критические точки, ответ 6 был бы неверным.

Ответ: 10.

Примеры решения задания 12 с пояснениями

К двум разобранным выше примерам добавим случай с ограниченной областью определения, где ошибка чаще всего связана с пропущенным условием.

Пример 4. Область определения

Условие: найдите точку минимума функции y = x − ln(x + 4).

Решение. Область определения: x + 4 > 0, то есть x > −4. Производная: y’ = 1 − 1/(x + 4) = (x + 3)/(x + 4). Корень числителя: x = −3, он входит в область определения. Знаменатель положителен на всей области.

На промежутке (−4; −3) производная отрицательна, на промежутке (−3; +∞) положительна. Знак меняется с минуса на плюс: точка минимума x = −3.

Ответ: −3.

Если бы функция имела ещё один корень производной левее −4, его пришлось бы отбросить: он вне области определения.

Типичные ошибки и способы их избежать

Ошибка	Как проверить себя
Критическая точка не проверена на принадлежность области определения	До поиска производной запишите область определения и сверьтесь с ней в конце
Точка с нулевой производной названа экстремумом	Расставьте знаки производной слева и справа: без смены знака экстремума нет
Не проверены концы отрезка	В таблице значений всегда должны быть обе границы
Перепутаны точка экстремума и значение функции	Подчеркните в условии: «точка» значит x, «значение» значит y
Ошибка в производной сложной функции	Проверьте, умножили ли вы на производную внутренней функции
Ответ не соответствует вопросу	Перед записью ответа перечитайте последнюю строку условия

Пример проверки: для y = (x − 3)·eˣ⁻² легко потерять второе слагаемое правила произведения. Если вы получили y’ = eˣ⁻², у производной нет корней, а значит, экстремума не будет. Сравнение с графиком функции или другим правилом поможет увидеть противоречие.

Как подготовиться к заданию 12 ЕГЭ-2027

План практики на несколько недель:

1. Повторите таблицу производных и правила, пока формулы не будут вспоминаться без подсказки.
2. Отработайте поиск критических точек и расстановку знаков производной на 10–15 функциях разного вида.
3. Прорешайте отдельно задачи на точки экстремума и на значения на отрезке.
4. Решайте задания по графику производной: они остаются в проекте ЕГЭ-2027 как задание 9.
5. Вместе с этим потренируйте чтение графиков функций: по проекту ФИПИ именно это проверяет задание 12 в 2027 году.
6. Ведите список ошибок и возвращайтесь к задачам, где допустили ошибку.

Задачи для тренировки берите из открытого банка заданий ФИПИ и из утверждённой демоверсии, когда она появится.

Частые вопросы

Что проверяет задание 12 ЕГЭ по профильной математике в 2026 году?

Задание 12 в 2026 году проверяет умение исследовать функцию с помощью производной и найти точку максимума или минимума. Ответом служит число.

Изменится ли задание 12 в 2027 году?

Да, по проекту демоверсии ФИПИ-2027 задание 12 другое: оно связано с чтением графиков функций. Задача на точку максимума по формуле в первой части проекта отсутствует, но производная проверяется в задании 9 и в задаче второй части.

Нужно ли знать производные в 2027 году?

Да. Производная нужна для задания 9 (график производной) и для практической задачи во второй части. Таблицу производных и правила дифференцирования учить по-прежнему необходимо.

Чем отличаются точка максимума и максимум функции?

Точка максимума: значение x, в котором функция принимает наибольшее значение в окрестности. Максимум функции: значение y в этой точке. Читайте вопрос задания внимательно.

Когда ФИПИ утвердит демоверсию 2027 года?

Проекты опубликованы, обратная связь принималась до 30 сентября 2026 года. Утверждённые демоверсии ожидаются в первой половине ноября 2026 года.

Вывод

В 2026 году задание 12 строится на производной: найти точку экстремума или значение функции на отрезке. В проекте 2027 года под номером 12 стоит другое задание, а производная проверяется в других номерах. Навык остаётся актуальным: освоите алгоритм один раз и сможете применять его в разных задачах.

Задания и разборы для подготовки к профильной математике собраны на платформе Сотка.

FAQ: Часто задаваемые вопросы

Что проверяет задание 12 ЕГЭ по математике?

Оно проверяет умение применять формулы, преобразования и логическое мышление в задаче.

Как начать решение?

Нужно внимательно прочитать условие, выделить данные и понять, какой математический инструмент нужен.

Какие ошибки бывают чаще всего?

Обычно ошибаются в вычислениях, подстановке формул и невнимательности к условию.

Как научиться решать быстрее?

Помогают регулярная практика, разбор типовых задач и отработка одинаковых шагов решения.

Можно ли выучить только шаблоны?

Шаблоны полезны, но без понимания смысла задачи легко допустить ошибку при изменении условия.