Итак, давай разбираться. Что это за стрелочка такая?

В простом смысле, вектор — это такая штука, которая показывает, куда и насколько что-то движется или изменяется. 

Представь стрелку: она указывает направление, а ее длина — это или расстояние. Например, если ты идёшь 5 метров на север, то можно сказать, что твой путь — это вектор. В нем важно не только сколько метров ты прошёл, но и в каком направлении.

Вектор имеет два важных свойства: начало и конец. Мы можем направлять его в любую сторону, и это направление важно для выполнения различных операций Например, если ветер дует на запад, это будет один вектор, а если ты идешь на восток, то твое движение можно описать другим.

Но не все векторы одинаковы. Их можно разделить на несколько видов в зависимости от их взаимного положения и направления.

Коллинеарные

Представь, что ты и твой друг едете на велосипедах в одном направлении, но с разной скоростью. Ваши движения описываются двумя векторами, которые будут называться коллинеарными:

Коллинеарные — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. 

Сонаправленные

Если две машины едут по одной дороге в одном направлении, их траектории движения можно будет назвать сонаправленными.

Сонаправленные — это векторы, которые не просто лежат на одной прямой или параллельных прямых, но и направлены в одну и ту же сторону. 

Например, ты идешь на север со скоростью 3 км/ч, а твой друг — на север со скоростью 5 км/ч. Оба ваших вектора будут сонаправленными, потому что они указывают в одно направление — на север.

Но если развернешься и резко пойдешь на юг по той же дороге, то ваши векторы уже будут противоположным по направлению.

Сложение векторов — это как складывать обычные числа, только нужно учитывать и величину, и направление. Представь, что ты идешь 3 метра на север, а затем поворачиваешь и идешь 4 метра на восток (ну и много же ты ходишь!)

Если нарисовать эти векторы, то получится траектория в виде буквы «Г». Чтобы найти общий результат, мы просто соединяем их концы, и получаем новый вектор, который укажет на то место, где ты оказался в итоге.

Другой пример: ты плывёшь на лодке по реке со скоростью 2 км/ч на юг (наверное, тебе надоело ходить), а течение реки тащит тебя на запад со скоростью 1 км/ч. Если сложить векторы твоего движения и течения реки, получится новый, который показывает, по какой траектории ты на самом деле плывёшь.

Вычитание векторов — это почти как сложение, только один из них мы берём в противоположном направлении. Представь, что ты идешь 5 метров на север, а потом разворачиваешься и идешь 2 метра на юг. Если вычесть движение на юг из движения на север, то в итоге ты продвинешься на 3 метра на север.

Пример с машиной: если одна машина едет со скоростью 60 км/ч на север, а другая — 30 км/ч на юг, то их векторы будут противоположными. Вычитая один из другого, можно узнать, с какой скоростью машины «разбегаются» друг от друга.

У любой прямой есть своя длина, и векторы не исключение.

Длина вектора — это расстояние между его началом и концом

Например, если ты пробежал 5 метров, то длина траектории твоего движения будет равна 5 метрам. Вектор, описывающий движение самолёта на 500 км/ч, будет значительно длиннее, чем описывающий движение пешехода на 5 км/ч.

Чтобы найти длину вектора в геометрии, нужно знать его координаты. Например, если он начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке (3, 4), то его длина будет равна 5 единицам. Почему? Посмотри внимательно на рисунок, ничего не напоминает?

Да, у нас получилось два прямоугольных треугольника, где вектор выступает в роли общей гипотенузы. Ее длину можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов или с2= a2+b2). 

4²+3²=16+9=25

Теперь ты знаешь, что такое векторы, как их складывать и вычитать, а также понял разницу между коллинеарными и сонаправленными. Можешь смело пользоваться новыми знаниями в классе или на экзамене. Это не так сложно, как кажется, правда? 

А теперь давай проверим новые знания!

Что такое вектор в геометрии?

1) Это объект, который имеет только направление.

2) Это объект, который показывает направление и величину.

3) Это линия, которая не имеет ни направления, ни длины.

Какие векторы называются коллинеарными?

1) те, которые направлены в одну сторону

2) те, которые лежат на одной или параллельных прямых

3) те, которые лежат на параллельных прямых

Петя отмечает на карте свой маршрут за день. Утром он вышел из дома, а к вечеру оказался на 8 единиц севернее и на 6 единицы восточнее изначальной точки. Сколько всего Петя прошел за день?

1) 14 единиц

2) 10 единиц

3) 48 единиц