Теорема синусов
Теорема синусов: формулировка и доказательство
Итак, как звучит это волшебная теорема синусов? Оказывается, если взять любую сторону и разделить её на синус угла напротив, то для всех трёх сторон треугольника это отношение будет одинаковым! Более того, оно ещё и равно удвоенному радиусу окружности, которую можно описать вокруг нашего треугольника.
Звучит страшно, но на деле все гораздо безобиднее.
Формула выглядит так:
Описанная — это, если что, такая окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Кстати, об этом у нас есть отдельная статья, а пока вернемся к треугольникам.
Так, а откуда это свойство взялось? Не упало же оно на голову какому-нибудь математику! Правильно, чтобы использовать это свойство, надо сперва доказать теорему.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC с описанной окружностью радиуса R
1. Проведем диаметр BD окружности, проходящий через вершину B.
2. Угол BCD — прямой (опирается на диаметр).
3. Углы A и BDC равны (опираются на одну дугу BC).
4. Из прямоугольного треугольника BCD:
BC=BD⋅sin∠BDC=2R⋅sin∠A
Поскольку сторона a = BC, а угол α = ∠A, получаем:
a=2R⋅sinα⇒a/sinα = 2R
Аналогично доказывается для остальных сторон и углов:
b/sinβ=2R
c/sinγ=2R
Следовательно:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
Подобным образом можно доказать и для других элементов.
В каких ситуациях нам понадобится эта теорема? Вот два основных случая:
- Когда известны два угла и одна сторона, мы можем определить длины остальных сторон.
- Если известны две стороны и угол, не лежащий между ними, можно вычислить значения остальных углов.
Следствие из теоремы синусов: формулировка и доказательство
А теперь рассмотрим следствия из теоремы синусов.
Из равенства
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
можно сделать несколько важных выводов.
1. В любом треугольнике диаметр описанной окружности равен отношению любой стороны к синусу противолежащего угла:
D = a / sin α
2. Если известны одна сторона треугольника и противолежащий ей угол, можно найти радиус описанной окружности:
R = a / (2 sin α)
3. В прямоугольном треугольнике диаметр описанной окружности равен гипотенузе.
Действительно, синус угла 90° равен 1, поэтому:
c / sin 90° = c = 2R
Эти следствия показывают, как с помощью теоремы синусов можно находить радиус и диаметр описанной окружности в разных ситуациях. Правда, здорово?
Примеры для разных треугольников
1. Остроугольный треугольник
В таком треугольнике все углы меньше 90∘.
Например, для треугольника со вводными:
2. Тупоугольный треугольник
3. Прямоугольный треугольник
В этом случае теорема синусов упрощается до минимума, так как
Решение задач по теореме синусов
Пример 1
Дано: В треугольнике ABC a = 7, α = 45°, β = 60°.
Найти b.
Решение:
По старой доброй теореме синусов:
b = a ⋅ sin β ⁄ sin α =
7 ⋅ sin 60° ⁄ sin 45° ≈ 8.57
Пример 2
Дано: В произвольном треугольнике a = 5, b = 6,угол α = 30°. Найти угол β.
Решение:
Применяем теорему синусов:
sin β = b ⋅ sin α ⁄ a =
6 ⋅ sin 30° ⁄ 5 = 0.6 ⇒
β ≈ 36.87°
Заключение
Теорема синусов — мощный инструмент для решения треугольников. Мы разобрали ее формулу, доказали ее и рассмотрели следствие из теоремы синусов, связывающее стороны с описанной окружностью. Теперь мы знаем, как решать задачи с ее помощью. Это поможет как в классе, так и на экзаменах. Удачи!
А теперь давайте проверим новые знания!
Проверь себя
В треугольнике DEF известны: угол D = 40°, угол E = 70°, сторона EF = 8 см. Найдите длину стороны DF.
1) 6,5 см
2) 7,8 см
3) 9,2 см
В треугольнике со сторонами 7 см и 9 см угол между ними равен 45°. Чему равен диаметр описанной окружности?
1) 8,2 см
2) 9,9 см
3) 11,4 см
Какое утверждение правильно описывает теорему синусов?
1) Сумма сторон пропорциональна тангенсам углов
2) Отношение сторон равно котангенсам противолежащих углов
3) Для любого треугольника a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R