Площадь трапеции
Определение и элементы трапеции
Начнем, как и всегда, с базы, а именно со знакомства с нашими персонажами. Итак, в главных ролях:
Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет.
Но, как и любая фигура, наша прима состоит из отдельных элементов. Познакомимся и с ними:
Определение и элементы трапеции
Для того чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо знать следующие ее элементы:
Основания — две параллельные стороны трапеции, ее крыша и фундамент.
Боковые стороны — две непараллельные стороны трапеции, стены между крышей и фундаментом.
Высота — перпендикулярное расстояние между двумя основаниями.
Углы — четыре угла, которые образуются на пересечении сторон.
Виды трапеции
Сама же трапеция — барышня весьма непредсказуемая, и может предстать перед нами в любом образе. Например, в виде:
Прямоугольной: Когда одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае она же и будет высотой.
Равнобедренной: Когда у нашей барышни боковые стороны равны, а углы при основаниях — одинаковые.
Произвольной: Когда у нее нет каких-либо дополнительных условий, кроме параллельности оснований.
Каждый вид трапеций имеет свои особенности. К слову о них…
Основные формулы площади трапеции
Итак, нам дана некая трапеция и вполне определенная задача — найти ее площадь. Сделать это можно разными способами:
По основанию и высоте
Формула:
где a и b — основания, h — высота.
Пример: Основания равны 6 см и 10 см, высота — 4 см.
Тогда:
Просто складываем основания, делим эту сумму пополам и умножаем на высоту!
По высоте и средней линии
Формула:
Где — m средняя линия, а — h высота.
Пример: Основания равны 8 и 12, а высота 5. Чего не хватает? Правильно, средней линии. Сначала находим ее по формуле:
Что-то напоминает, да? Да это же часть формулы из предыдущего пункта!
Теперь можно и площадь считать:
По всем сторонам
Важно! Эта формула корректна только для равнобедренной трапеции.
Тут уже ситуация из разряда «сложно, но можно». Представим, что нам известны стороны нашей трапеции. И тут в игру вступают древние эльфийские знания, потому что мы начинаем использовать следующую формулу:
где a,b,c и d — стороны трапеции
Страшно? Возможно… Но давай пробовать.
Пример: у произвольной трапеции длины сторон равны 3, 9, 8 и 10.
Вспоминаем квадраты чисел (ну или подглядываем в специальную таблицу)
Уф, это было долго, но результативно.
Через диагонали и угол между ними
Все, выдохнули! Дальше будет проще. Нам необязательно знать стороны, чтобы определить площадь. Иногда это можно сделать через диагонали и угол между ними с помощью формулы:
где d1 и d2 — диагонали, а — угол между ними.
Пример: Диагонали равны 6 и 8, угол 30°. Тогда площадь мы найдем следующим образом:
Да, в этом случае нам необходимо знать синусы разных градусных мер. Но, во-первых, знание самых базовых углов это основа основ, а во-вторых, всегда можно сделать себе табличку со значениями и пользоваться ей в минуты особой нужды.
Через радиус вписанной окружности и угол
Какая-какая окружность?! О вписанных и описанных окружностях у нас есть отдельная статья, но важно помнить, что вписать окружность мы можем только когда суммы длин противоположных сторон равны (a+b = c+d).
Допустим, что внутри нашей примы начертили окружность. Как это поможет нам найти площадь?
Здесь нам нужен радиус вписанной окружности. С ней наша формула будет выглядеть так:
где a и b — основания, а r — радиус вписанной окружности.
Пример: Основания равны 5 и 7, а радиус вписанной окружности 6.
Фан факт: если так совпало, в этом случае трапеция ещё и равнобедренная, то радиус совпадает с половиной высоты, Это очень удобно.
Формула Герона
Возвращаемся к эльфийскому. Но не так страшно. Жил в первом веке нашей эры математик Герон Александрийский. И вывел он прекрасную формулу по нахождению площади трапеции. Вот она:
где a и b — основания, c и d — боковые стороны, а p — полупериметр
Да, формула длинная, но позволяет находить площадь легко и непринужденно.
Пример: У трапеции основания равны 14 и 10, боковые стороны — 15 и 13.
Для начала найдем полупериметр. Для этого, собственно, надо сложить длины всех сторон трапеции и разделить пополам.
Теперь можно переходить и к площади:
Вуаля!
Заключение
Теперь мы знаем все основные формулы для нахождения площади трапеции. Главное — с самого начала оценить, какие элементы фигуры нам даны, и выбрать правильный способ расчета. Эти знания пригодятся и во время классной работы, и на экзаменах, и в обычной жизни. Удачи!
А пока давай проверим новые знания!
Проверь себя
Какой из перечисленных вариантов позволяет вычислить площадь трапеции?
1) Высота, умноженная на разность оснований.
2) Полусумма сторон.
3) Высота, умноженная на среднюю линию.
Можно ли определить площадь трапеции, зная длины всех ее сторон?
1) Нет, нам нужна еще и высота
2) Да, но нам нужен полупериметр
3) Да, но только если она равнобедренная
По какой формуле мы найдем среднюю линию трапеции?
