Основные тригонометрические формулы
Основные тригонометрические тождества
Но давай ближе к делу. Тригонометрические формулы — это мощный чит-код, который помогает упрощать выражения, решать уравнения и даже моделировать реальные процессы. В этой статье мы разберем основные тригонометрические формулы, которые пригодятся тебе не только в школе, но и при подготовке к ЕГЭ.
Тригонометрические тождества — это важные правила, на которых строится вся тригонометрия. Они помогают решать задачи, связанные с углами и треугольниками, и упрощают сложные выражения, делая их более понятными и удобными для вычислений. Эти тождества связывают между собой основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, показывая, как они связаны друг с другом. Они основаны на свойствах прямоугольного треугольника и единичной окружности, которая представляет собой круг с радиусом 1.
Основное тождество:
Тождества для тангенса и котангенса:
Связь тангенса и котангенса:
Это будет верно, если sinα≠0 и cosα≠0
Эти формулы помогают преобразовывать выражения и решать тригонометрические уравнения.
Основные тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения помогают упростить выражения с углами, например, π/2 ± α, π ± α и так далее. Их задача — сделать тригонометрические функции более удобными для работы.
Правило мнемоники:
Если угол меняется на π/2 или 3π/2, функция становится другой:
- Синус меняется на косинус, а косинус на синус.
- Тангенс меняется на котангенс, а котангенс на тангенс.
Знак тригонометрической функции определяется по четверти, в которой находится угол, стоящий внутри скобок.
Пример:
sin(π/2 − α) = cos(α)
Здесь знак определяется по четверти, в которой находится угол π/2-α, учитывая, что 0<α<90
Таблица приведения тригонометрических функций:
Такие формулы особенно полезны при вычислениях без калькулятора.
Тригонометрические формулы сложения и разности
Эти формулы превращают сумму или разность функций в произведение:
Тригонометрические формулы кратного угла
Разберём, как с помощью тригонометрии выражаются функции двойного и тройного углов. Все формулы легко запомнить, если знаешь основные тождества.
Двойной угол:
Тройной угол:
Лайфхак: запомни, что в формулах для тройного угла синус и косинус получают кубы своих значений, а тангенс — выражается через дробь, где участвует и tan(α), и tan³(α).
Тригонометрические формулы половинного угла
Эти формулы помогут найти значения синуса, косинуса и тангенса половины угла через обычный угол α.
Синус половинного угла
sin(α/2) = ±√[(1 − cos(α)) / 2]
Косинус половинного угла
cos(α/2) = ±√[(1 + cos(α)) / 2]
Тангенс половинного угла
Есть несколько вариантов! Выбирай любой в зависимости от задачи:
tan(α/2) = ±√[(1 − cos(α)) / (1 + cos(α))]
= sin(α) / (1 + cos(α))
= (1 − cos(α)) / sin(α)
Знак ± зависит от того, в какой четверти находится угол α/2.
Например, если α/2 во второй четверти, то синус положительный, а косинус — отрицательный.
Тригонометрические формулы понижения степени
Эти формулы позволяют заменить синусы и косинусы в степени выражениями с меньшей степенью. Очень удобно для упрощения выражений и интегрирования.
Понижение степени синуса
sin²(α) = [1 − cos(2α)] / 2
sin³(α) = [3sin(α) − sin(3α)] / 4
Понижение степени косинуса
cos²(α) = [1 + cos(2α)] / 2
cos³(α) = [3cos(α) + cos(3α)] / 4
Эти формулы полезны, когда нужно избавиться от степени или упростить выражение перед вычислением.
Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Тригонометрические формулы произведения функций
Эти формулы часто используют для преобразования и упрощения тригонометрических выражений. Особенно полезны при интегрировании и решении уравнений.
Тригонометрические формулы универсальной подстановки
С этим ты модешь столкнуться уже в вузе. Но если ты большой энтузиаст математики, обрати внимание на:
Универсальную тригонометрическую подстановку
Пусть
t = tan(α / 2)
Тогда:
Формулы:
sin(α) = 2t / (1 + t²)
cos(α) = (1 − t²) / (1 + t²)
tan(α) = 2t / (1 − t²)
Эти подстановки часто используют при преобразовании тригонометрических выражений и при вычислении интегралов.
Заключение
Теперь у тебя есть всё, чтобы уверенно разбираться в тригонометрических формулах! Мы тщательно разобрали основные тригонометрические тождества, формулы сложения углов, формулы для кратных углов, а также универсальную подстановку. Эти знания — твой надёжный помощник, который откроет перед тобой новые возможности:
✅ Упрощай сложные выражения, делая их более понятными и доступными.
✅ Решай тригонометрические уравнения любой сложности, находя решения шаг за шагом.
✅ Готовься к ЕГЭ с уверенностью, зная, что даже самые трудные задачи тебе по плечу.
Главное — практиковаться! Регулярные упражнения помогут тебе закрепить материал, развить интуицию и научиться применять знания в нестандартных ситуациях. Не бойся делать ошибки — они часть пути к успеху. Сохрани шпаргалку с основными тригонометрическими чит-кодами и возвращайся к ней, когда нужно освежить знания или быстро вспомнить нужный алгоритм.