Предикаты
Понятие предиката
Предикаты часто используются в программировании и математике для задания условий, проверки корректности конкретной программы и многого другого.
Предикат — это функция, которая содержит хотя бы одну переменную и может возвращать истинное или ложное значение в зависимости от значений переменных, входящих в ее состав. Проще говоря, это выражение, которое проверяет некоторое условие и может оказаться правдой или ложью.
Например, предикат P(x) может выражать утверждение «x является четным числом». Если подставить в него число 4, то предикат будет истинным, а если число 5 — ложным.
В задачах ЕГЭ и ОГЭ по информатике, предикаты помогают формализовать и анализировать сложные логические выражения.
Логические операции над предикатами
Предикаты можно комбинировать между собой, используя логические операции. Основные операции:
1. Конъюнкция (AND) — логическое «И». Например, предикат P(x) И Q(x) будет истинным, только если оба предиката P(x) и Q(x) истинны.
Например, P(x) — это «x > 0», а Q(x) — «x < 10». Тогда P(x) И Q(x) будет истинным для любого числа от 1 до 9.
2. Дизъюнкция (OR) — логическое «ИЛИ». Предикат P(x) ИЛИ Q(x) будет истинным, если хотя бы один из предикатов P(x) или Q(x) истинный. Дизъюнкция предикатов будет ложной, только когда оба предиката будут ложными.
Если P(x) — это «x четное», а Q(x) — «x делится на 3», то при значении х = 5, P(x) ИЛИ Q(x) вернет значение «ложь».
3. Отрицание (NOT) — логическое «НЕ». Предикат НЕ P(x) будет истинным, если P(x) ложен.
Например, если P(x) — это «x > 0», то НЕ P(x) будет означать «x ≤ 0».
Эти операции помогают комбинировать простые предикаты в более сложные условия, которые можно использовать в алгоритмах, задачах или программном коде.
Кванторные операции над предикатами
Кванторы — это особые символы, которые используются для обобщения предикатов. В информатике и математике используются два основных квантора:
1. Квантор всеобщности (∀) — «для всех». Утверждение ∀x P(x) означает, что предикат P(x) истинный для всех значений x.
Например, ∀x (x > 0) означает, что все значения x больше нуля.
2. Квантор существования (∃) — «существует». Утверждение ∃x P(x) означает, что существует хотя бы одно значение x, для которого предикат P(x) истинный.
Например, ∃x (x = 5) означает, что существует хотя бы одно значение x, равное 5.
Кванторы позволяют формулировать общие утверждения, которые могут быть полезны для доказательства теорем или для решения задач в программировании.
Примеры применения
Теперь посмотрим на реальные примеры использования предикатов в задачах.
Пример 1
Даны два предиката
- P: 3 < x < 10;
- Q: x делится на 3 без остатка.
Нужно найти значения, при которых предикат P(x) И Q(x) будет истинным.
Используется логическая операция «И», значит оба утверждения должны быть истинными, чтобы предикат был истинным.
Чтобы предикат P был истинным, значение х должно быть в числовом диапазоне (3; 10).
Чтобы предикат Q был истинным, значение х должно делиться без остатка на 3.
Итак, при значениях х = 6 и х = 9 предикаты P(x) и Q(x) будет истинными, значит P(x) И Q(x) будет истинным.
Пример 2
Нужно найти число, которое без остатка делится на 3, но не делится на 2 и на 5:
∃x (x делится на 3 И НЕ делится на 2 или 5)
Здесь квантор существования ∃х утверждает, что такое х существует. Это значит, что нам нужно найти хотя бы одно число, которое без остатка делится на 3, но не делится на 2 или 5, например, число 9.
Проверь себя
Что такое предикат в математической логике?
– числовое выражение;
– логическое высказывание, зависящее от переменных;
– геометрическая фигура.
Какая логическая операция применяется над предикатами для объединения двух условий?
– дизъюнкция (логическое «И»);
– отрицание;
– конъюнкция (логическое «ИЛИ»).
Какой квантор используется для обозначения утверждения, что для всех значений переменной предикат верен?
– существования (∃);
– всеобщности (∀);
– отрицания (¬).