Предикаты часто используются в программировании и математике для задания условий, проверки корректности конкретной программы и многого другого. 

Предикат — это функция, которая содержит хотя бы одну переменную и может возвращать истинное или ложное значение в зависимости от значений переменных, входящих в ее состав. Проще говоря, это выражение, которое проверяет некоторое условие и может оказаться правдой или ложью. 

Например, предикат P(x) может выражать утверждение «x является четным числом». Если подставить в него число 4, то предикат будет истинным, а если число 5 — ложным.

В задачах ЕГЭ и ОГЭ по информатике, предикаты помогают формализовать и анализировать сложные логические выражения.

Предикаты можно комбинировать между собой, используя логические операции. Основные операции:

1. Конъюнкция (AND) — логическое «И». Например, предикат P(x) И Q(x) будет истинным, только если оба предиката P(x) и Q(x) истинны. 

Например, P(x) — это «x > 0», а Q(x) — «x < 10». Тогда P(x) И Q(x) будет истинным для любого числа от 1 до 9.

2. Дизъюнкция (OR) — логическое «ИЛИ». Предикат P(x) ИЛИ Q(x) будет истинным, если хотя бы один из предикатов P(x) или Q(x) истинный. Дизъюнкция предикатов будет ложной, только когда оба предиката будут ложными.

Если P(x) — это «x четное», а Q(x) — «x делится на 3», то при значении х = 5, P(x) ИЛИ Q(x) вернет значение «ложь».

3. Отрицание (NOT) — логическое «НЕ». Предикат НЕ P(x) будет истинным, если P(x) ложен. 

Например, если P(x) — это «x > 0», то НЕ P(x) будет означать «x ≤ 0».

Эти операции помогают комбинировать простые предикаты в более сложные условия, которые можно использовать в алгоритмах, задачах или программном коде.

Кванторы — это особые символы, которые используются для обобщения предикатов. В информатике и математике используются два основных квантора:

1. Квантор всеобщности (∀) — «для всех». Утверждение ∀x P(x) означает, что предикат P(x) истинный для всех значений x. 

Например, ∀x (x > 0) означает, что все значения x больше нуля.

2. Квантор существования (∃) — «существует». Утверждение ∃x P(x) означает, что существует хотя бы одно значение x, для которого предикат P(x) истинный. 

Например, ∃x (x = 5) означает, что существует хотя бы одно значение x, равное 5.

Кванторы позволяют формулировать общие утверждения, которые могут быть полезны для доказательства теорем или для решения задач в программировании.

Теперь посмотрим на реальные примеры использования предикатов в задачах.

Пример 1

Даны два предиката 

1. P: 3 < x < 10;
2. Q: x делится на 3 без остатка.

Нужно найти значения, при которых предикат P(x) И Q(x) будет истинным.

Используется логическая операция «И», значит оба утверждения должны быть истинными, чтобы предикат был истинным. 

Чтобы предикат P был истинным, значение х должно быть в числовом диапазоне (3; 10).

Чтобы предикат Q был истинным, значение х должно делиться без остатка на 3.

Итак, при значениях х = 6 и х = 9 предикаты P(x) и Q(x) будет истинными, значит P(x) И Q(x) будет истинным.

Пример 2

Нужно найти число, которое без остатка делится на 3, но не делится на 2 и на 5:

∃x (x делится на 3 И НЕ делится на 2 или 5)

Здесь квантор существования ∃х утверждает, что такое х существует. Это значит, что нам нужно найти хотя бы одно число, которое без остатка делится на 3, но не делится на 2 или 5, например, число 9.

Что такое предикат в математической логике?

– числовое выражение;

– логическое высказывание, зависящее от переменных;

– геометрическая фигура.

Какая логическая операция применяется над предикатами для объединения двух условий?

– дизъюнкция (логическое «И»);

– отрицание;

– конъюнкция (логическое «ИЛИ»).

Какой квантор используется для обозначения утверждения, что для всех значений переменной предикат верен?

– существования (∃);

– всеобщности (∀);

– отрицания (¬).