Двоичная (бинарная) система счисления — это система записи чисел, в основании которой всего два символа: 0 и 1 

Эту систему придумал еще в 18 веке немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц. А в начале 20 века Клод Шеннон ввёл понятие «бит» — минимальное количество информации:

0 — ложь — нет тока (0 бит);

1 — истина — есть ток (1 бит).

С тех пор двоичную (бинарную) систему счисления стали использовать все ЭВМ, в том числе и современные компьютеры.

Из плюсов: таким способом закодировать можно все, что угодно. Из минусов — кодирование выглядит как огромный массив и занимает очень много места.

Чтобы упростить себе жизнь и вычисления, запомни несколько свойств бинарных чисел. 

1. Все числа двоичной СС начинаются с 1
2. 
   
3. Если число заканчивается 0 — оно четное, 1 — нечетное
4. 
   
5. Любые степени двойки можно записать в двоичной системе как 1 и n-ное количество 0, которое равно степени: 2ⁿ = 1 и n нулей.

Примеры: 

32 = ?₂ 

35 — это пятая степень двойки, то есть в бинарной записи пишем 1 и 5 нулей: 32 = 2⁵ = 100000₂

128 = ?₂ 

128 — это седьмая степень двойки, то есть в бинарной записи пишем 1 и 7 нулей:

128 = 2⁷ = 10000000₂

1. Числа вида 2n–1 можно записать n-ным количеством единиц: 2n–1 = n единиц 

Пример: 

31 = ?₂ 

31 — это 32-1, а 3² — это пятая степень двойки, то есть в бинарной записи для 31 пишем просто 5 единиц. 

31 = 2⁵ – 1 = 11111

1. Если известна двоичная запись числа A, то для двоичной записи числа 2А достаточно приписать к записи числа А ноль в конце. 

Пример: 

11=1011₂, 22 = ?₂

Мы знаем бинарную запись числа 11, это 1011₂. 22 = 2*11, то есть в бинарной записи мы можем просто приписать ноль в конце: 22 = 10110₂. Аналогично для 44, 88 и так далее: 44 = 101100₂ , 88 = 101100₂

1. Если число А находится в интервале 2^n-1 А < 2ⁿ,в его двоичной записи будет только n цифр. 

Пример: 

Сколько цифр в бинарной записи числа 529? 

Вспоминаем степени двойки. Число 519 находится в интервале между 512 и 1024: 2⁹ 519 < 2¹⁰. То есть в его бинарной записи будет 10 цифр: 519 = 1000000111₂

А еще нам нужно разобраться в развернутой форме записи числа. 

Любое число в двоичной СС можно записать в развернутой форме с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).

Вообще-то это можно в любой системе счисления делать (как — мы писали вот тут)

Развернутая форма записи числа в любой позиционной системе счисления выглядит так: 

A_q = a_n-1 * q^n-1 + a_n-2 * q^n-2 + a_n-3 * q^n-3 …+ a₀ * q⁰ …+ a_-m * q^-m

Что есть что в этой страшной формуле? 

A — само число (то, что нам надо развернуть)

q — основание системы счисления (то, сколько символов в алфавите)

a_i — цифры нашего числа по порядку записи

n — количество разрядов целой части числа

m — количество разрядов дробной части числа (если она есть)

Кажется, сложно? А ведь это почти начальная школа! 

Да-да, в начальной школе мы все это уже делали. 

Нас просили записать число 345 развернуто, и мы писали 345 = 300 + 40 + 5.

Но постой-ка… Ведь мы уже знаем, что такое степень числа! Поэтому смело можем записать это иначе: 

345 = 3*10² + 4*10¹ + 5*10⁰ 

Видишь сходство с той страшной записью выше? Мы уже делали развернутую запись в десятичной СС. А сейчас разберемся, как сделать это в двоичной.

Примеры: 

Записываем развернуто 101101₂

Наше A = 101101, q = 2, n = 6 (так как у нас 6 цифр в числе).

Чтобы не запутаться, сразу пронумеруем разряды:

Записываем: 

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Теперь пробуем записать развернуто 1100₂

Наше A = 1100, q = 2, n = 4 (так как у нас 4 цифры в числе).

Чтобы не запутаться, сразу пронумеруем разряды:

Записываем: 

101101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰

Самый простой способ любого перевода из одной СС в другую — воспользоваться калькулятором перевода (благо, в сети их хватает). Минус у этого решения один, но очевидный: на контрольных и экзаменах пользоваться таким способом не получится. 

Поэтому разберем, как делать все это ручками. 

Перевод в десятичную СС.

Алгоритм максимально простой, если уже освоена развернутая форма записи. 

1. Берем бинарное число 
2. Записываем его в развернутой форме 
3. Считаем получившийся результат (умножаем и суммируем то, что у нас в развернутой записи получилось)

Примеры: 

Нужно перевести в десятичную систему 101101₂

Записываем в развернутой форме и выполняем вычисления:

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 45₁₀

Перевод в шестнадцатеричную СС.

Чтобы перевести бинарные числа в шестнадцатеричную систему, можно воспользоваться тремя способами: 

1. Самый муторный. Выполнить перевод в два действия: сначала перевести в десятичную, а потом уже из десятичной в шестнадцатеричную. Это долго и есть высокий шанс запутаться и ошибиться. Поэтому…
2. Упрощенный по алгоритму: 
3. Разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево (на тетрады); 
4. Если в самой левой группе (последней) не хватет цифр, доставляем вместо недостающих первых цифр нули (перед остальными цифрами);
5. В каждой полученной группе умножаем каждый разряд на 2n, где n — номер разряда;
6. Получившиеся результаты записываем в том же порядке, заменяя цифры после 9 на соответствующие буквы латинского алфавита — это и будет число в шестнадцатеричной СС. 

Пример:

11010₂ = (0001) (1010) = (0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A₁₆

1. Упрощенный для тех, у кого хорошая память (или учителя разрешают использовать дополнительные материалы). Так же делим число в двоичной системе на четверки (тетрады). А затем просто подставляем нужные значения из вот этой таблицы:

Чтобы преобразовывать в бинарную СС из десятичной, нам потребуется такой навык, как деление столбиком. 

Алгоритм преобразования на диво прост: 

1. Берем десятичное число
2. Делим его на основание нашей СС — на 2. 
3. Получившиеся в процессе деления остатки записываем в обратном порядке

Пример: 

Нам нужно перевести 5610 в двоичную систему счисления: 

Для начала берем 56 и делим на основание желаемой системы, у нас это 2. 

56 / 2 = 28 и остаток 0

28 / 2 = 14 и остаток 0

14 / 2 = 7 и остаток 0

7 / 2 = 3 и остаток 1

3 / 2 = 1 и остаток 1

1 / 2 = 0 и остаток 1

Теперь все остатки записываем в обратном порядке: 56₁₀ = 111000₂

1. В каком ряду все представленные числа — четные? 

— 1110100₂, 10100₂, 110101₂

— 1011010₂, 1111010₂, 101010₂

— 11011₂, 100110₂, 110011₂

2. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 63?

— 3 нуля

— 6 нулей

— нет нулей

3. Переведи десятичное число 123 в двоичную и шестнадцатеричную СС. В какой строке верно указаны оба результата? 

— 1111011₂, 7B₁₆

— 100110₂, 8F₁₆

— 1010110₂, 24B₁₆